2023学年江西省红色七校高三第二次调研数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 2．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A．2 B． C． D．3 4．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（ ） A．3 B． C． D． 5．若变量，满足，则的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．10 6．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（ ） A． B． C． D． 7．若满足约束条件则的最大值为（ ） A．10 B．8 C．5 D．3 8．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是(　　) A． B．2 C． D． 9．若为虚数单位，则复数，则在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知集合A，则集合（ ） A． B． C． D． 11．已知向量，，且与的夹角为，则x=（ ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 12．若复数（）在复平面内的对应点在直线上，则等于( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知为双曲线：的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为__________． 14．下图是一个算法流程图,则输出的的值为__________． 15．已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当_____时，外心的横坐标最大． 16．一个村子里一共有个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告诉了第三个人，如此等等．在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的，当谣言传播次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是_______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点. （1）证明:平面 （2）若，求二面角的余弦值. 18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，成等差数列，求的值； （2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次，若掷得点数大于，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有个红球与个白球，抽奖者从箱中任意摸出个球，若个球均为红球，则获得一等奖，若个球为个红球和个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）. 若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率； 若一等奖可获奖金元，二等奖可获奖金元，三等奖可获奖金元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望不超过元，求的最小值. 20．（12分）某企业现有A．B两套设备生产某种产品，现从A，B两套设备生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是从A设备抽取的样本频率分布直方图，表1是从B设备抽取的样本频数分布表. 图1：A设备生产的样本频率分布直方图 表1：B设备生产的样本频数分布表 质量指标值 频数 2 18 48 14 16 2 （1）请估计A．B设备生产的产品质量指标的平均值； （2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件利润240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件利润180元；其它的合格品定为三等品，每件利润120元.根据图1、表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.企业由于投入资金的限制，需要根据A，B两套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调整生产规模，请根据以上数据，从经济效益的角度考虑企业应该对哪一套设备加大生产规模？ 21．（12分）已知函数，. （1）求证：在区间上有且仅有一个零点，且； （2）若当时，不等式恒成立，求证：. 22．（10分）已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于，两点，直线，分别交轴于点，． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求证：为定值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案. 【题目详解】 当时，，， ，又，所以至少小于7，此时， 令，得，解得或，结合图象，故. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 2、A 【答案解析】 根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解. 【题目详解】 由得， 即，即， 因为，所以， 由余弦定理，所以， 由的面积公式得 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3、A 【答案解析】 利用分段函数的性质逐步求解即可得答案． 【题目详解】 ，； ； 故选：． 【答案点睛】 本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用． 4、C 【答案解析】 根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案. 【题目详解】 显然直线过抛物线的焦点 如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E 根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC 设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME= 所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题. 5、D 【答案解析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【题目详解】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 如图点坐标分别为， 目标函数的几何意义为，可行域内点与坐标原点的距离的平方，由图可知到原点的距离最大，故. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题． 6、C 【答案解析】 判断圆心与直线的关系，确定直线，关于直线对称的充要条件是与直线垂直，从而等于到直线的距离，由切线性质求出，得，从而得． 【题目详解】 如图，设圆的圆心为，半径为，点不在直线上，要满足直线，关于直线对称，则必垂直于直线，∴， 设，则，，∴,． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线对称，得出与直线垂直，从而得就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角． 7、D 【答案解析】 画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【题目详解】 解:由约束条件作出可行域如图, 化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知 当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为 的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题. 8、A 【答案解析】 先根据已知求出原△ABC的高为AO＝，再求原△ABC的面积. 【题目详解】 由题图可知原△ABC的高为AO＝， ∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案为A 【答案点睛】 本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 9、B 【答案解析】 首先根据特殊角的三角函数值将复数化为，求出，再利用复数的几何意义即可求解. 【题目详解】 ， ， 则在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题. 10、A 【答案解析】 化简集合,，按交集定义，即可求解. 【题目详解】 集合， ，则. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查集合间的运算，属于基础题. 11、B 【答案解析】 由题意，代入解方程即可得解. 【题目详解】 由题意， 所以，且，解得. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 12、C 【答案解析】 由题意得，可求得，再根据共轭复数的定义可得选项. 【题目详解】 由题意得，解得，所以，所以， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由点，关于直线对称，得到直线的斜率，再根据直线过点，可求出直线方程，又，中点在直线上，代入直线的方程，化简整理，即可求出结果. 【题目详解】 因为为双曲线：的左焦点，所以，又点，关于直线对称，，所以可得直线的方程为，又，中点在直线上，所以，整理得，又，所以， 故，解得，因为，所以. 故答案为 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的简单性质，先由两点对称，求出直线斜率，再由焦点坐标求出直线方程，根据中点在直线上，即可求出结果，属于常考题型. 14、3 【答案解析】 分析程序中各变量、各语句的作用,根据流程图所示的顺序,即可得出结论. 【题目详解】 解:初始, 第一次循环: ; 第二次循环: ; 第三次循环: ; 经判断,此时跳出循环,输出. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查了程序框图的应用问题,解题的关键是对算法语句的理解,属基础题. 15、 【答案解析】 由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值． 【题目详解】 如图， 由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上， 即在直线，也就是在直线上， 联立，得或， 的中点坐标为， 则的垂直平分线方程为， 把代