2023学年中考数学考点一遍过考点18圆的性质及与圆有关的位置关系含解析.doc

考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系 一、圆的有关概念 1．与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧． （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角． （6）弦心距：圆心到弦的距离． 2．注意 （1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条； （2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个． （3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆． 二、垂径定理及其推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 2．推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 三、圆心角、弧、弦的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立． 2．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 四、圆周角定理及其推论 1．定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． （2）直径所对的圆周角是直角． 圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 五、与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d． (1)d<r⇔点在⊙O内； (2)d=r⇔点在⊙O上； (3)d>r⇔点在⊙O外． 判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 2．直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d>r d=r d<r 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况． 六、切线的性质与判定 1．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点． （2）切线到圆心的距离等于圆的半径． （3）切线垂直于经过切点的半径． 利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 2．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线判定常用的证明方法： ①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； ②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 七、三角形与圆 1．三角形的外接圆相关概念 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形． 外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 考向一 圆的基本认识 1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径． 2．直径是弦，但弦不一定是直径． 3．在同一个圆中，直径是最长的弦． 4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°． 5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧． 典例1 下列命题中正确的有 ①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误； ②半径不是弦，所以②错误； ③直径是最长的弦，正确； ④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A． 1．把圆的半径缩小到原来的，那么圆的面积缩小到原来的 A． B． C． D． 2．半径为5的圆的一条弦长不可能是 A．3 B．5 C．10 D．12 考向二 垂径定理 1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立． 2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据． 典例2 如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB= A．cm B．3cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【解析】如图，连接OA， ∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm， ∴CD是⊙O的直径， ∵CD⊥AB， ∴AE=BE，OE=3，OA=6， ∴AE=， ∴AB=2AE=， 故选D． 典例3 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 A．2 cm B． cm C． D． 【答案】C 【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长． 作OD⊥AB于D，连接OA． 根据题意得OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm， 根据垂径定理得AB=2cm． 故选C． 3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是 A．3 B．6 C．4 D．8 4．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米． （1）求该圆弧形所在圆的半径； （2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？ 考向三 弧、弦、圆心角、圆周角 1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧． 2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可． 典例4 如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为 A．50° B．20° C．30° D．25° 【答案】D 【解析】∠A=BOC=×50°=25°． 故选D． 典例5　如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是 A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【解析】如图，连接BD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°， 由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°， ∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°， ∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°， ∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B． 5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为 A．π B．π C．π D．π 6．如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=38°，则∠AEO的度数是 A．52° B．57° C．66° D．78° 考向四 点、直线与圆的位置关系 1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外． 2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离． 典例6　已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是 A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合 【答案】C 【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径， ∴点A在⊙O外．故选C． 【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 典例7　在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是 A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD==1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力． 7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是 A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．以上都有可能 8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切． 考向五 切线的性质与判定 有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法． 典例8　如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC= A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B， ∴∠PBA=90°， ∵∠PBC=50°， ∴∠ABC=40°． 故选B． 典例9　如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为 A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图， ∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC==4，而AD为中线，∴DC=2， ∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r， ∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC， ∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=， ∵S△ABE+S△BCE+S△ACE=S△ABC， ∴，∴．故选B． 9．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD<BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是 A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定 10．如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙的直径交底边于，于． 求证：（1）； （2）为⊙的切线． 1．下列关于圆的叙述正确的有 圆内接四边形的对角互补； 相等的圆周角所对的弧相等； 正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； 同圆中的平行弦所夹的弧相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=136°，则∠C的度数是 A．44° B．22° C．46° D．36° 3．