2023学年中考数学基础题型提分讲练专题20以相似三角形为背景的证明与计算含解析.doc

专题20 以相似三角形为背景的证明与计算 考点分析 【例1】（2023年·辽宁中考真题）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF． （1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时， 求证：①∠CAD＝∠CDF， ②BD＝EF； （2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）BD＝EF，理由见解析. 【解析】 （1）证明：①∵∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠ADC＝90°， ∵∠CDF+∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠CDF； ②作FH⊥BC交BC的延长线于H， 则四边形FECH为矩形， ∴CH＝EF， 在△ACD和△DHF中， ， ， ， ， ，即， ； （2）， 理由如下：作交的延长线于， 则四边形为矩形， ， ，， ， ，即，GF＝2CD， ∵BC＝2AC，CE＝2CD， ∴BC＝DG，GF＝CE， ∴BD＝CG， ∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°， ∴四边形FECG为矩形， ∴CG＝EF， ∴BD＝EF． 【点睛】 此题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和掌握各判定定理. 【例2】 （2023年·辽宁中考真题）如图，中，，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且． （1）如图1，当时，线段AG和CF的数量关系是　 　． （2）如图2，当时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明． （3）若，，，请直接写出CF的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）2.5或5 【解析】 解：（1）相等，理由：如图1，连接AE， ∵DE垂直平分AB， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）， 理由：如图2，连接AE， ， ， ， ∵DE垂直平分AB， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （3）①当G在DA上时，如图3，连接AE， ∵DE垂直平分AB， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过A作于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当点G在BD上，如图4，同（1）可得，， ， ， ， ， 综上所述，CF的长为2.5或5． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 考点集训 1．（2023年·山东中考真题）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当时， ；② 当时， （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长. 【答案】（1）①,②.（2）无变化；理由参见解析.（3），. 【解析】 （1）①当α=0°时， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴,BD=8÷2=4， ∴． ②如图1， ， 当α=180°时， 可得AB∥DE， ∵， ∴ （2）如图2， ， 当0°≤α＜360°时，的大小没有变化， ∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵， ∴△ECA∽△DCB， ∴． （3）①如图3， ， ∵AC=4，CD=4，CD⊥AD， ∴AD= ∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=． ②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P， ， ∵AC=，CD=4，CD⊥AD， ∴AD=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE==2， ∴AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得 ， ∴BD=． 综上所述，BD的长为或． 2．（2023年·江苏初三期末）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求的值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）． 【解析】 解：（1）证明：∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB． ∵∠ADC=∠ACB=90° ∴△ADC∽△ACB． ∴ 即AC2=AB•AD． （2）证明：∵E为AB的中点 ∴CE=AB=AE ∴∠EAC=∠ECA． ∵∠DAC=∠CAB ∴∠DAC=∠ECA ∴CE∥AD． （3）∵CE∥AD ∴△AFD∽△CFE ∴． ∵CE=AB ∴CE=×6=3． ∵AD=4 ∴ ∴． 3．（2023年·四川中考真题）如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：；（2）若，求MN的长． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 证明：（1）∵DB平分， ，且， （2） ，且 ，且， ， 且 【点睛】 考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键． 4．（2023年·江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN． （1）若△BMN与△ABC相似，求t的值； （2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值． 【答案】（1）△BMN与△ABC相似时，t的值为或；（2）t= 【解析】 （1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），当△BMN∽△BAC时，，∴，解得：t=； 当△BMN∽△BCA时，，∴，解得：t=， ∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或； （2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：DM=BMsinB==（cm），BD=BMcosB==（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴，解得t=． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．解直角三角形；3．动点型；4．分类讨论；5．综合题；6．压轴题． 5．（2023年·湖北中考真题）在中，，，是上一点，连接 （1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证： （2）过点作，为垂足，连接并延长交于点. ①如图2，若，求证： ②如图3，若是的中点，直接写出的值（用含的式子表示） 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；② 【解析】 (1)延长交于点， ∵与垂直，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； (2)①过点作交的延长线于点， ∵，∴与垂直， 由(1)，得， ∵， ∴，即； ②过点C作CD//BP交AB的延长线于点D，延长AM交CD于点H， ∴∠PCH=∠BPQ， ∵，∴⊥， ∴∠BPM=∠CHM=90°， 又∵∠BMP=∠CMH，BM=CM， ∴△BPM≌△CHM， ∴BP=CH，PM=HM， ∴PH=2PM， ∵∠PMB=∠BMA，∠ABM=∠BPM=90°， ∴△ABM∽△BPM， ∴， 在Rt△PCH中，tan∠PCH=， ∴tan∠BPQ=， 又∵BC=2BM，， ∴tan∠BPQ=. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用. 6．（2023年·辽宁初三期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B, （1）求证：AC•CD=CP•BP； （2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C． ∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C． ∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC， ∴∠BAP=∠DPC， ∴△ABP∽△PCD， ∴， ∴AB•CD=CP•BP． ∵AB=AC， ∴AC•CD=CP•BP； （2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP． ∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C． ∵∠B=∠B， ∴△BAP∽△BCA， ∴． ∵AB=10，BC=12， ∴， ∴BP=． “点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键． 7．（2023年·山西初三期末）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点． （1）求证：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长； 【答案】（1）证明见解析；（2）PB的长为或． 【解析】 解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE， ∴△ADB≌△AEC， ∴BD=CE． （2）解：①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1． ∵∠EAC=90°， ∴CE==． 同（1）可证△ADB≌△AEC， ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC， ∴， ∴， ∴PB=． ②当点E在BA延长线上时，BE=3． ∵∠EAC=90°， ∴CE==． 同（1）可证△ADB≌△AEC， ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC， ∴， ∴， ∴PB=． 综上所述，PB的长为或． 【点睛】 本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得△PEB∽△AEC是解题的关键． 8．（2023年·山东初三）如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN. （1）求证：BN平分∠ABE； （2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长； （3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析. 【解析】 （1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB，