2023学年中考数学必考考点专题20矩形含解析.docx

专题20 矩形 专题知识回顾 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线平分且相等。 3．矩形判定定理： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4．矩形的面积：S矩形=长×宽=ab 专题典型题考法及解析 【例题1】（2023年广西桂林）将矩形按如图所示的方式折叠，，，为折痕，若顶点，，都落在点处，且点，，在同一条直线上，同时点，，在另一条直线上，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由折叠可得，，， ，分别为，的中点， 设，，则，，，， ， 中，， 即， ， 即，，的值为 【例题2】（2023年贵州省安顺市） 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为斜边BC上的一个动点，过D分别作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 . B D M N C A 【答案】 【解析】连接AD，即可证明四边形AMDN是矩形；由矩形AMDN得出MN＝AD，再由三角形的面积关系求出AD的最小值，即可得出结果． 连接AD，如图所示： B D M N C A ∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠AMD＝∠AND＝90°， 又∵∠BAC＝90°，∴四边形AMDN是矩形；∴MN＝AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5， 当AD⊥BC时，AD最短， 此时△ABC的面积＝BC•AD＝AB•AC， ∴AD的最小值＝， ∴线段MN的最小值为。 专题典型训练题 一、选择题 1.（2023年•广东广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（　　） A．4 B．4 C．10 D．8 【答案】A 【解析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝＝4，再由勾股定理求出AC即可． 连接AE，如图： ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC，AE＝CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， 在△AOF和△COE中，， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE＝5， ∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8， ∴AB＝＝＝4， ∴AC＝＝＝4； 故选：A． 2.（2023年•贵州省铜仁市）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（　　） A．360° B．540° C．630° D．720° 【答案】C． 【解答】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的 倍数，都能被180整除，分析四个答案， 只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°． 3．（2023年•山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可． 如图： 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2＝CE 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值 ∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点， ∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2 ∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90° ∴∠DP2P1＝90° ∴∠DP1P2＝45° ∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值为BP1的长 在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2 ∴BP1＝2 ∴PB的最小值是2 4.（2023年湖北荆州）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA＝OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD为矩形， ∴AE＝CE， 而OA＝OC， ∴OE为∠AOC的平分线． 二、填空题 5．（2023年重庆）如图，在矩形ABCD中，，，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是___________（结果保留）． 【答案】 【解析】 6.（2023年湖南娄底）如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）． 【答案】∠ABC=90°或 AC=BD． 【解析】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；故添加条件：∠ABC=90°或 AC=BD． 故答案为：∠ABC=90°或 AC=BD． 7.（2023年黑龙江省龙东地区）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝ S△PCD，则PC＋PD的最小值是________． 【答案】. 【解析】结合已知条件，根据S△PAB＝ S△PCD可判断出点P在平行于AB，与AB的距离为2、与CD的距离为4的直线上，再根据“将军饮马问题”的解法解之即可. 过点P作直线l∥AB，作点D关于直线l的对称点D1，连接CD1，∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，∴CD=4,DD1=8, 在Rt△CDD1中，由勾股定理得CD1=，∴PC＋PD的最小值是. 8．（2023年内蒙古通辽）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为　 　． 【答案】． 【解答】∵四边形ABCD是矩形 ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∵AE平分∠BAO ∴∠BAE＝∠EAO，且AE＝AE，∠AEB＝∠AEO， ∴△ABE≌△AOE（ASA） ∴AO＝AB，且AO＝OB ∴AO＝AB＝BO＝DO， ∴BD＝2AB， ∵AD2+AB2＝BD2， ∴64+AB2＝4AB2， ∴AB＝ 9.（2023年•湖北省咸宁市）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论： ①CQ＝CD； ②四边形CMPN是菱形； ③P，A重合时，MN＝2； ④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5． 其中正确的是　 　（把正确结论的序号都填上）． 【答案】②③． 【解析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN＝NP，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ＝CD，得Rt△CMQ≌△CMD，进而得∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN，判断出③正确；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值便可． 如图1， ∵PM∥CN， ∴∠PMN＝∠MNC， ∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN， ∵NC＝NP，∴PM＝CN， ∵MP∥CN， ∴四边形CNPM是平行四边形， ∵CN＝NP，∴四边形CNPM是菱形，故②正确； ∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP， ∴∠MQC＝∠D＝90°， ∵CP＝CP， 若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌△CMD， ∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立， 故①错误； 点P与点A重合时，如图2， 设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x， 在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴CN＝8﹣3＝5，AC＝， ∴， ∴， ∴MN＝2QN＝2． 故③正确； 当MN过点D时，如图3， 此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝， 当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝， ∴4≤S≤5，故④错误．故答案为：②③． 10.（2023年·贵州贵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是　 　． 【答案】． 【解析】E的运动路径是EE'的长； ∵AB＝4，∠DCA＝30°， ∴BC＝， 当F与A点重合时， 在Rt△ADE'中，AD＝，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°， ∴DE'＝，∠CDE'＝30°， 当F与C重合时，∠EDC＝60°， ∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°， 在Rt△DEE'中，EE'＝. 11．（2023年•山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝　　． 【答案】． 【解析】利用矩形的性质，证明∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，∠C＝∠A'B'D＝90°，推出△DB'A'≌△DCA'，CD＝B'D，设AB＝DC＝x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC， 由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°， ∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E， ∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°， ∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB＝30°， ∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°， 又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'， ∴△DB'A'≌△DCA'（AAS）， ∴DC＝DB'， 在Rt△AED中， ∠ADE＝30°，AD＝2， ∴AE＝＝， 设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣ ∵AE2+AD2＝DE2， ∴（）2+22＝（x+x﹣）2， 解得，x1＝（负值舍去），x2＝ 12.（2023年北京市）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ是矩形； ③