2023学年中考数学热点专练05一元二次方程含解析.docx

热点05 一元二次方程 【命题趋势】 1．用直接开平方法、配方法、公式法或因式分解法解一元二次方程． 2．一元二次方程根的判别式，有两种考查方式：①给出一元二次方程，求方程的根的情况；②给出带有参数的一元二次方程和根的情况，求参数的取值范围． 3．一元二次方程的根与系数的关系，主要考查方式：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根；②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数；③不解方程求关于根的式子的值，如求等等；④判断两根的符号．⑤求作新方程；⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值． 4．列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题比较广泛（常见的题型是增长率问题）． 【满分技巧】 一、一元二次方程根的情况 1．一元二次方程有实数根的前提是b2－4ac≥0． 利用一元二次方程根的判别式（=b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与=b2﹣4ac有如下关系： ①当>0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当<0时，方程无实数根． 2．一元二次方程根与系数的特点： （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2． 二、一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的“六字诀”: 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【限时检测】（建议用时：30分钟） 一、选择题 1．（天津市滨海区2023年届九年级中考二模数学试卷）一元二次方程的根为 A． B． C．， D．， 【答案】D 【解析】∵， ∴x（x+1）=0， 即x=0或x+1=0， 解得：x=0或x=–1． 故选D． 2． （2023年•河南）一元二次方程（x+1）（x–1）=2x+3的根的情况是 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解析】原方程可化为：x2–2x–4=0，∴a=1，b=–2，c=–4，∴△=（–2）2–4×1×（–4）=20＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．故选A． 3．（山东省济南历下区2023年届九年级第三次模拟考试数学试题）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠1 D．m≥﹣2且m≠1 【答案】C 【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根， ∴， 解得：m≤2且m≠1．故选C． 4．（2023年•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2–2x=0的两个实数根，下列结论错误的是 A．x1≠x2 B．x12–2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1•x2=2 【答案】D 【解析】∵Δ=（–2）2–4×1×0=4＞0，∴x1≠x2，选项A不符合题意； ∵x1是一元二次方程x2–2x=0的实数根，∴x12–2x1=0，选项B不符合题意； ∵x1，x2是一元二次方程x2–2x=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1•x2=0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选D． 5．（2023年年广西梧州市中考数学二模试卷）一元二次方程2x2﹣5x﹣4=0根的情况是 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定该方程根的情况 【答案】A 【解析】=（﹣5）2﹣4×2×（﹣4）=57>0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选A． 6．（2023年•河北）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是 A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x=–1 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【解析】∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4， 解出其中一个根是x=–1， ∴（–1）2–4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，则b2–4ac=16–4×1×5=–4<0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选A． 7．（2023年•广西）扬帆中学有一块长30 m，宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为 A．（30–x）（20–x）=×20×30 B．（30–2x）（20–x）=×20×30 C．30x+2×20x=×20×30 D．（30–2x）（20–x）=×20×30 【答案】D 【解析】设花带的宽度为x m，则可列方程为（30–2x）（20–x）=×20×30，故选D． 8．（江苏省苏州市部分学校中考2023年年5月份数学模拟试卷）若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1=0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为 A．8 B．7 C．8或7 D．9或8 【答案】C 【解析】∵等腰三角形三边长分别为a、b、4， ∴a=b，或a、b中有一个数为4． 当a=b时，有b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4（n+1）=0， 解得：n=8； 当a、b中有一个数为4时，有42﹣6×4+n+1=0， 解得：n=7， 故选C． 9．（安徽省池州市贵池区2023年年中考数学三模试卷）据池州市统计局发布，2023年年我市全年生产总值684.9亿元，比上年增长5.7%，若今、明两年年增长率保持不变，则2023年年全年生产总值为 A．（1+5.7%×2）×684.9亿元 B．（1+5.7%）2×684.9亿元 C．2×（1+5.7%）×684.9亿元 D．2×5.7%（1+5.7%）×684.9亿元 【答案】B 【解析】∵2023年年我市全年生产总值684.9亿元，比上年增长5.7%，且今、明两年年增长率保持不变， ∴2023年年的生产总值为（1+5.7%）2×684.9亿元， 故选B． 10．（2023年年天津市南开区九年级第二学期基础训练数学试题）某校羽毛球队有若干名队员，任意两名队员之间进行一场友谊赛，共进行了36场比赛．如果全队有名队员，根据题意下列方程正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设有x名队员，每个队员都要赛（x–1）场，但两人之间只有一场比赛， 故， 故选C． 二、填空题 11．（2023年年浙江省绍兴市越城区中考数学一模试卷）一元二次方程x（x+5）=x+5的解为__________． 【答案】x1=﹣5，x2=1 【解析】方程整理得：x（x+5）﹣（x+5）=0， 分解因式得：（x+5）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣5，x2=1， 故答案为：x1=﹣5，x2=1． 12．（河南省安阳市2023年届九年级中考一模数学试题）一元二次方程x2+2x﹣4=0的解是__________． 【答案】 【解析】∵x2+2x=4， ∴x2+2x+1=4+1，即（x+1）2=5， 则x+1=， 即x=﹣1， 故答案为：﹣1． 13．（2023年年山东省潍坊市中考数学一模试卷）已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1=0的两实数根互为相反数，则k=__________． 【答案】﹣2 【解析】设方程的两根分别为x1，x2， ∵x2+（k2﹣4）x+k﹣1=0的两实数根互为相反数， ∴x1+x2，=﹣（k2﹣4）=0，解得k=±2， 当k=2，方程变为：x2+1=0，=﹣4<0，方程没有实数根，所以k=2舍去； 当k=﹣2，方程变为：x2﹣3=0，=12>0，方程有两个不相等的实数根； ∴k=﹣2． 故答案为：﹣2． 14．（山东省德州市齐河县2023年年中考数学二模试卷）若x1，x2分别是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个实数根，则的值是__________． 【答案】2 【解析】∵x1，x2分别是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个实数根， ∴x1+x2=﹣2，x1x2=﹣1， ∴=2． 故答案为：2． 15．（江苏省南京市高淳区2023年年中考二模数学试卷）已知关于x的方程x2+mx－3=0的两个根为x1、x2，若x1+x2=2x1x2，则m=__________． 【答案】6 【解析】∵x1，x2是方程x2+mx−3=0的两根， ∴x1+x2=–m，x1•x2=–3， 则–m=2×（–3），解得：m=6， 故答案为：6． 16．（黑龙江省哈尔滨市平房区2023年届中考第三次模拟考试数学试题）某商品每件元，经过两次降价后，售价为元，若每次降价的百分比相同，则第一次降价后的售价为每件__________元． 【答案】 【解析】设每次降价的百分率为x，根据题意得：300（1–x）=243， 解得：x=0.1=10%，x=1.9（不合题意，舍去）． 每次降价的百分率为10%． ∴第一次降价后的售价为300–（300×0.1）=270（元）， 故答案为：270． 三、解答题 17．（江苏省南京市高淳区第一中学2023年届中考三模数学试题）解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x﹣5=0； （2）（x﹣3）2=2（x﹣3）． 【解析】（1）x2﹣4x﹣5=0， x2−4x=5， 则x2−4x+4=5+4，即（x−2）2=9， 所以x1=5，x2=﹣1． （2）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0， （x﹣3）（x﹣3﹣2）=0， x﹣3=0或x﹣3﹣2=0， 所以x1=3，x2=5． 18．（2023年•十堰）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围；[ （2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值． 【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2． （2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5， ∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30， ∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣， ∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1． 19．（河