2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案椭圆方程及性质高中数学.docx

第八章 圆锥曲线 知识结构网络 8．1 椭圆方程及性质 一、明确复习目标 1．掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程 2．掌握椭圆的简单几何性质;掌握a,b,c,e等参数的几何意义及关系． 二．建构知识网络 1． 椭圆的两种定义： (1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；〔时为线段，无轨迹〕。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 (2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| ，0＜e＜1的常数。〔为抛物线；为双曲线〕 2． 标准方程：〔1〕焦点在x轴上，中心在原点：〔a＞b＞0〕； 焦点F1〔－c，0〕， F2〔c，0〕。其中〔一个〕 〔2〕焦点在y轴上，中心在原点：〔a＞b＞0〕； 焦点F1〔0，－c〕，F2〔0，c〕。其中 〔3〕两种标准方程可用统一形式表示：Ax2+By2=1 〔A＞0，B＞0，A≠B当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上〕，这种形式用起来更方便。 3．性质：对于椭圆：〔a＞b＞0〕如下性质必须熟练掌握： ①范围; ②对称轴,对称中心; ③顶点; ④焦点; ⑤准线方程; ⑥离心率; (参见课本) 此外还有如下常用性质： ⑦焦半径公式： |PF1|==a+ex0，|PF2|==a-ex0；(由第二定义推得) ⑧焦准距；准线间距;通径长; ⑨最大角 证:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,那么 对于椭圆：〔a＞b＞0〕的性质可类似的给出〔请课后完成〕。 4．椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,是椭圆本身所固有的,决定椭圆形状的参数,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关． 5．对椭圆方程作三角换元即得椭圆的参数方程： ；注意θ不是∠xOP(x,y)． 6．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法〞及结论： 设椭圆：上弦AB的中点为M(x0,y0),那么斜率kAB=, 对椭圆：, 那么kAB=． 三、双基题目练练手 1．〔2023全国Ⅱ〕△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，那么△ABC的周长是 ( ) A． B．6 C． D．12 2．(2023广东) 假设焦点在轴上的椭圆的离心率为，那么m=〔 〕 A． B． C． D． 3． (2023山东)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，那么该椭圆的离心离为 ( ) A． B． C． D． 4．设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，假设直线MF1恰与圆F2相切，那么该椭圆的离心率e为 ( ) A． －1 B．2－ C． D． 5．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，那么这个椭圆方程为__________________． 6．(2023四川15)如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半局部于,,……七个点，F是椭圆的一个焦点，那么____________． 简答提示：1-4．CBBA； 4．易知圆F2的半径为c，〔2a－c〕2+c2=4c2，〔〕2+2〔〕－2=0，=－1． 5． +=1或+=1； 6．根据椭圆的对称性知，，同理其余两对的和也是， 又，∴ =35 四、经典例题做一做 【例1】假设椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM〔O为原点〕的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程． 分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为．OA⊥OB，易得a、b的两个方程． 解法1：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，M〔x0，y0〕． ∴〔a+b〕x2－2bx+b－1=0. 由 x+y=1， ax2+by2=1， ∴x0==，y0==1－=． ∴M〔，〕． ∵kOM=，∴b=a． ① ∵OA⊥OB，∴·=－1． ∴x1x2+y1y2=0． ∵x1x2=，y1y2=〔1－x1〕〔1－x2〕， ∴y1y2=1－〔x1+x2〕+x1x2 =1－+=． ∴+=0． ∴a+b=2． ② 由①②得a=2〔－1〕，b=2〔－1〕． ∴所求方程为2〔－1〕x2+2〔－1〕y2=1． 法2：(点差法)由ax1+by1=1, ax2+by2=1相减得 ,即…下同法1． 提炼方法：1．设而不求，即设出A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，借助韦达定理推出b=a．．再由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,转换出a,b的又一关系式, 2．点差法得b=a．… 【例2】(2023湖南) 椭圆C：＋＝1〔a＞b＞0〕的左．右焦点为F1、F2，离心率为e． 直线,l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ． 〔Ⅰ〕证明：λ＝1－e2； 〔Ⅱ〕假设，△MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；〔理科无此问〕 〔Ⅲ〕确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形． 〔Ⅰ〕证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是． 所以点M的坐标是〔〕． 由 即． 证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是 所以 因为点M在椭圆上，所以 即 解得 〔Ⅱ〕当时，，所以 由△MF1F2的周长为6，得 所以 椭圆方程为 〔Ⅲ〕解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 设点F1到l的距离为d，由 得 所以 即当△PF1F2为等腰三角形． 解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|， 设点P的坐标是， 那么 由|PF1|=|F1F2|得 两边同时除以4a2，化简得 从而 于是． 即当时，△PF1F2为等腰三角形． 【例3】(2023春上海)〔1〕求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程； 〔2〕椭圆的方程是． 设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为． 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上； 〔3〕利用〔2〕所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心． 解：〔1〕设椭圆的标准方程为，， ∴ ，即椭圆的方程为， ∵ 点〔〕在椭圆上，∴ ， 解得 或〔舍〕， 由此得，即椭圆的标准方程为． 〔2〕设直线的方程为， 与椭圆的交点()、()， 那么有， 解得 ， ∵ ，∴ ，即 ． 那么 ， ∴ 中点的坐标为． ∴ 线段的中点在过原点的直线 上． 〔3〕如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线〔与前两条直线不平行〕分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心． M A O A1 M1 N1 D1 C1 N B D B1 C 【例4】 〔2023江西〕如图,椭圆的右焦点为,过点的一动直线绕点 转动,并且交椭圆于、两点, 为线段的中点． (1) 求点的轨迹的方程; (2) 假设在的方程中,令确定的值,使原点距椭圆的右准线最远．此时设与轴交点为,当直线绕点转动到什么位置时,三角形的面积最大 解：如图 (1)设椭圆上的点、,又设点坐标为，那么 ………………② ………………① 当不垂直轴时， 由①—②得 当 垂直于轴时，点即为点，满足方程〔x〕． 故所求点的轨迹的方程为： ． (2)因为,椭圆右准线方程是,原点距椭圆的右准线的距离为, 时,上式到达最大值,所以当时,原点距椭圆的右准线最远． 此时． 设椭圆 上的点、, △的面积 设直线的方程为,代入中,得 由韦达定理得 令,得,当取等号． 因此,当直线绕点转动到垂直轴位置时, 三角形的面积最大． 特别提醒:注意这种直线方程的设法,适用于 “含斜率不存在,而无斜率为零的情况〞. 【研讨．欣赏】〔1〕点P的坐标是(-1,-3)，F是椭圆的右焦点,点Q在椭圆上移动，当取最小值时，求点Q的坐标，并求出其最小值。 〔2〕设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离是的点的坐标。 解(1)由椭圆方程可知a=4,b=,那么c=2,, 椭圆的右准线方程为x=8 过点Q作QQ’于点Q’, 过点P作PP’于点P’,那么据椭圆的第二定义知, , 易知当P、Q、Q’在同一条线上时，即当Q’与P’点重合时，才能取得最小值，最小值为8-(-1)=9，此时点Q的纵坐标为-3，代入椭圆方程得。 因此,当Q点运动到(2,-3)处时, 取最小值9． (2)设所求的椭圆的直角坐标方程是． 由,解得,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d． 那么 其中,如果, 那么当y=-b时,d2取得最大值 解得b=与矛盾, 故必有 当时d2取得最大值， 解得b=1,a=2 所求椭圆方程为． 由可得椭圆上到点P的距离等于的点为,． 五．提炼总结以为师 1．椭圆定义是解决问题的出发点,一般地，涉及a、b、c的问题先考虑第一定义，涉及e、d及焦半径的问题行急需处理 虑第二定义； 2．求椭圆方程，常用待定系数法,定义法,首先确定曲线类型和方程的形式，再由题设条件确定参数值，应“特别〞掌握； 〔1〕当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏； 〔2〕两种标准方程中，总有a＞b＞0，c2=a2-b2并且椭圆的焦点总在长轴上； 3．要正确理解和灵活运用参数a,b,c,,e的几何意义与相互关系； 4．会用方程分析解决交点、弦长和求值问题，能正确使用“点差法〞及其结论。 同步练习 8．1 椭圆方程及性质 【选择题】 1．(2023全国I)椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点 为P，那么= 〔 〕 A． B． C． D．4 2．(2023全国卷Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，假设△F1PF2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是 〔 〕 A． B． C． D． 【填空题】 3．点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，那么点P的横坐标是____________． 4．F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB〔O为椭圆中心〕时，那么椭圆的离心率为________． 5．P是椭圆＋＝1〔a＞b＞0〕上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，那么椭圆方程为____________． 6．