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2023应届理科数学试卷—附完整答案 2023~2023学年度高三年级12月份月考 应届理科数学试卷 命题人：李大乐 审题人： 一、选择题(此题共12小题，每题5分，共60分，每题只有一个选项符合题意) 1． （ ） A． B． C． D． 2．定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),且y=f(x+3)为偶函数，假设f(x)在(0,3)内单调递减，那么下面结论正确的选项是（ ） A．f(−4.5)①该函数在上的值域是； ②在上，当且仅当时函数取最大值； ③该函数的最小正周期可以是； ④的图象可能过原点． 其中的真命题有__________．（写出所有真命题的序号） 14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－7，S3＝－15. 求Sn_________ 15．数列中，，以后各项由公式给出，那么等于_____. 16．，．假设是的必要不充分条件，那么实数的取值范围是__． 三、解答题 17．函数． （1）假设函数的图象关于直线对称，且，求函数的单调递增区间； （2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 18．如图，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作矩形，然后沿边将矩形翻折，使平面与平面垂直． （1）求证：平面； （2）假设点到平面的距离为，求三棱锥的体积． 19．．x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 20．在直角梯形PBCD中，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图． （Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD； （Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值． 21．以为首项的数列满足：（）. （1）当时，且，写出、； （2）假设数列（，）是公差为的等差数列，求的取值范围； 22函数f(x)＝λln x－e-x(λ∈R)． (1)假设函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围； (2)求证：当0（1）函数 ，......................2分 ∵函数的图象关于直线对称， ∴，且，∴（），. 由解得（），.....................4分 函数的单调增区间为（）．.....................5分 （2）由（1）知， ∵，∴， ∴，即函数单调递增； ，即函数单调递减．.....................7分 又，∴当 或时，函数有且只有一个零点， 即或， ∴．............................................10分 18.（1）见解析；（2）． 解析：（1）证明：在矩形中， 因为面面， 所以面，所以 又在直角梯形中，，，，所以， 在中，，，.........................................4分 所以： 所以：， 所以：面...................................................6分 （2）由（1）得：面面， 作于，那么面 所以：.........................................8分 在中， 即：，解得 所以：........................................12分 19.解　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0， 那么1＝＋≥2＝，得xy≥64， 当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．.........................................6分 (2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝， 因为x>0，所以y>2， 那么x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18， 当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．........................................12分 解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 那么x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．.........................................12分 20.（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） 【解析】 试题分析：（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；.........................................4分 （2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得 ，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可 （法二：空间向量法） （1）同法一 （2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可 解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形， 所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形， 因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B 所以BC⊥平面SAB， 又SA⊂平面SAB， 所以BC⊥SA， 又SA⊥AB，BC∩AB=B 所以SA⊥平面ABCD， （2）在AD上取一点O，使，连接EO 因为，所以EO∥SA 因为SA⊥平面ABCD， 所以EO⊥平面ABCD， 过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH， 那么AC⊥平面EOH， 所以AC⊥EH． 所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，． 在Rt△AHO中， ∴， 即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分 解法二：（1）同方法一 （2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，） ∴平面ACD的法向为.........................................6分 设平面EAC的法向量为=（x，y，z）， 由， 所以，可取 所以=（2，﹣2，1）．.........................................9分 所以 所以 即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分 21.（1），；（2） 【解析】(1)因为以为首项的数列满足：，，， 所以，所以；由得；...........4分 (2)因为数列（，）是公差为的等差数列， 所以，所以，.......................6分 所以，所以， 所以， .........................................8分 故，所以， 因为， .........................................10分 所以由题意只需：，故..........................................12分 22.解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∵f(x)＝λln x－e-x，∴f′(x)＝＋e－x＝， ∵函数f(x)是单调函数，∴f′(x)≤0或f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，....2分 ①当函数f(x)是单调递减函数时，f′(x)≤0， ∴≤0，即λ＋xe－x≤0，λ≤－xe－x＝－， 令φ(x)＝－，那么φ′(x)＝， 当01时，φ′(x)>0， 那么φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x>0时，φ(x)min＝φ(1)＝－，∴λ≤－；.........................................4分 ②当函数f(x)是单调递增函数时，f′(x)≥0， ∴≥0，即λ＋xe－x≥0，λ≥－xe－x＝－， 由①得φ(x)＝－在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，x→＋∞时，φ(x)f(x2)，即－ln x1－e-x1>－ln x2－e-x2， ∴e-x2－e-x1>ln x1－ln x2. 要证e1-x2－e1-x1>1－.只需证ln x1－ln x2>1－，即证ln >1－， 令t＝，t∈(0,1)，那么只需证ln t>1－，.........................................10分 令h(t)＝ln t＋－1，那么当00，即ln t>1－，得证．...................12分 此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。