2023年应届理科数学试卷—附完整答案.doc

2023应届理科数学试卷—附完整答案 2023~2023学年度高三年级12月份月考 应届理科数学试卷 命题人：李大乐 审题人：一、选择题(此题共12小题，每题5分，共60分，每题只有一个选项符合题意) 1． 〔 〕A． B． C． D． 2．定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),且y=f(x+3)为偶函数，假设f(x)在(0,3)内单调递减，那么下面结论正确的选项是〔 〕A．f(−4.5)0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． 20．在直角梯形PBCD中，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图． 〔Ⅰ〕求证：SA⊥平面ABCD；〔Ⅱ〕求二面角E﹣AC﹣D的正切值． 21．以为首项的数列满足：〔〕. 〔1〕当时，且，写出、；〔2〕假设数列〔，〕是公差为的等差数列，求的取值范围； 22函数f(x)＝λln x－e-x(λ∈R)． (1)假设函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围；(2)求证：当00，y>0， 那么1＝＋≥2＝，得xy≥64， 当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．.........................................6分 (2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝， 因为x>0，所以y>2， 那么x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18， 当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．........................................12分 解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 那么x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．.........................................12分 20.〔Ⅰ〕证明见解析〔Ⅱ〕【解析】 试题分析：〔法一〕〔1〕由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；.........................................4分 〔2〕〔三垂线法〕由考虑在AD上取一点O，使得 ，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可 〔法二：空间向量法〕〔1〕同法一 〔2〕以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可 解法一：〔1〕证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形， 所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形， 因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B 所以BC⊥平面SAB， 又SA⊂平面SAB， 所以BC⊥SA， 又SA⊥AB，BC∩AB=B 所以SA⊥平面ABCD， 〔2〕在AD上取一点O，使，连接EO 因为，所以EO∥SA 因为SA⊥平面ABCD， 所以EO⊥平面ABCD， 过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH， 那么AC⊥平面EOH， 所以AC⊥EH． 所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，． 在Rt△AHO中， ∴， 即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分 解法二：〔1〕同方法一 〔2〕解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔2，2，0〕，D〔0，2，0〕，S〔0，0，2〕，E〔0，〕∴平面ACD的法向为.........................................6分 设平面EAC的法向量为=〔x，y，z〕， 由， 所以，可取 所以=〔2，﹣2，1〕．.........................................9分 所以 所以 即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分 21.〔1〕，；〔2〕【解析】(1)因为以为首项的数列满足：，，， 所以，所以；由得；...........4分 (2)因为数列〔，〕是公差为的等差数列， 所以，所以，.......................6分 所以，所以， 所以， .........................................8分 故，所以， 因为， .........................................10分 所以由题意只需：，故..........................................12分 22.解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∵f(x)＝λln x－e-x，∴f′(x)＝＋e－x＝， ∵函数f(x)是单调函数，∴f′(x)≤0或f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，....2分 ①当函数f(x)是单调递减函数时，f′(x)≤0， ∴≤0，即λ＋xe－x≤0，λ≤－xe－x＝－， 令φ(x)＝－，那么φ′(x)＝， 当01时，φ′(x)>0， 那么φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x>0时，φ(x)min＝φ(1)＝－，∴λ≤－；.........................................4分 ②当函数f(x)是单调递增函数时，f′(x)≥0， ∴≥0，即λ＋xe－x≥0，λ≥－xe－x＝－， 由①得φ(x)＝－在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，x→＋∞时，φ(x)f(x2)，即－ln x1－e-x1>－ln x2－e-x2， ∴e-x2－e-x1>ln x1－ln x2. 要证e1-x2－e1-x1>1－.只需证ln x1－ln x2>1－，即证ln >1－， 令t＝，t∈(0,1)，那么只需证ln t>1－，.........................................10分 令h(t)＝ln t＋－1，那么当00，即ln t>1－，得证．...................12分