L-双拓扑空间中的配良紧性_薛雨佳.pdf

收稿日期:2022 11 16;修订日期:2022 12 19作者简介:薛雨佳(1997)，女，硕士研究生，研究方向:格上拓扑学与模糊数学。基金项目:陕西省自然科学基础研究计划项目(2018JM1042)。*通信作者:王小霞，副教授，硕士生导师。E mail:yd wxx163 com。第 41 卷第 1 期2023 年 2 月江西科学JIANGXISCIENCEVol 41 No 1Feb 2023doi:1013990/j issn1001 3679 202301004L 双拓扑空间中的配良紧性薛雨佳，王小霞*，何琼(延安大学数学与计算机科学学院，716000，陕西，延安)摘要:在 L 双拓扑空间中给出了配良紧集的概念，研究了它们的等价刻画和基本性质，证明了配良紧性是弱拓扑不变性和对双闭子集具有遗传性。关键词:L 双拓扑空间;远域族;配良紧性中图分类号:O189 4文献标识码:A文章编号:1001 3679(2023)01 016 04Pairwise N Compactness in L Bitopological SpacesXUE Yujia，WANG Xiaoxia*，HE Qiong(School of Mathematics and Computer Science，Yanan University，716000，Yanan，Shaanxi，PC)Abstract:In this paper，we give the concept of pairwise N compact sets in L bitopologicalspaces，study their equivalent characterizations and basic properties，and prove that pairwise N compactness are weakly topological properties and hereditary with respect to biclosed subsetsKey words:L bitopological space;romote neighborhood family;pairwise N compactness0引言良紧性是模糊拓扑学研究的重要性质之一。1986 年，文献 1在 LF 拓扑空间中，就 L=0，1引入了良紧性理论;文献 2 3 在 LF 拓扑空间中定义了几乎良紧集和 良紧集的概念，研究了其基本性质;文献 4 在 L 预拓扑空间中定义了良紧集，讨论了其等价刻画和基本性质;自从文献 5 引入双拓扑空间概念，得到了一系列有意义的结果6 9。本文在 L 双拓扑空间中定义了配良紧集及配良紧空间的概念，给出它们的等价刻画并研究了其基本性质。文中，L 表示 F 格，即具有逆序对合对应的完全分配格，X 是非空分明集，J1与 J2是 X 上的 2个分明拓扑，则称(X，J1，J2)为(分明)双拓扑空间，简称 bts。LX表示 X 上的全体 L 集，LX中的最小元和最大元分别记作0X和1X。设 1和 2都是 LX上 L 拓扑，则称(LX，1，2)为 L 双拓扑空间，简称 L bts。M(L)表示 L 中的全体分子之集，W表示 W 的特征函数，Copr(L)表示 L 中非0 的余素元全体，pr(L)表示 L 中非 1 的素元全体，()为 的极小集，*()=(a)Copr(L)。其他未加说明的记号和术语均见参考文献。1预备知识定义11:设(LX，)是 LF 拓扑空间，A LX，M(L)。如果 xA，有 P 使 P (x)，则称 为 A 的 远域族。定义 21:设(LX，)是 LF 拓扑空间，A LX，如果对 A 的任一 远域族 ，有 =2()使 构成 A 的 远域族，则称 A 良紧集。当最大的 LF 集1 是良紧集时，称(LX，)为良紧空间。定义31:设(LX，)是 LF 拓扑空间，r 是 L 中的素元且 r 1，如果 x X 有 U ，使得 U(x)r，则 为(LX，)的 r 复盖。设*(r)是 r 的由异于 1 的素元组成的极大集，如果 sa*(r)使得 是 s 复盖，则 为 r+复盖。定义 41:设(LX，)是 LF 拓扑空间，S=S(n)，nD是 LX中的分子网，设 M(L)，如果对 r *(a)，n0 D，当 n n0时有V(S(n)r，则称分子网 S 为 网，其中V(S(n)表示分子 S(n)的高。定义 51:设(LX，)是 LF 拓扑空间，e M*(LX)，S=S(n)，n D是 LX中的分子网，如果 P (e)，S 经常不在 P 中，则称 e 为 S的聚点。定义 61:设(LX，)和(LY，)都是 L 拓扑空间，若 f:(LX，)(LY，)是单满的 L 值Zadeh 函数，并且使得 f 和 f都连续，则称 f 为强同胚映射，被强同胚映射所保持的性质称为弱同胚不变性质。2L 双拓扑空间中配良紧性的概念和等价刻画定义 7:设(LX，1，2)是 L bts，A LX，M(L)，如果对 A 的任一 1远域族 ，有 2()，使 构成 A 的 2远域族，则称 A 为(LX，1，2)中的(1，2)弱配良紧集，若 A 既是(1，2)中的弱配良紧集，又是(2，1)中的弱配良紧集，则称 A 为配良紧集。当 LX中的最大元1X是(LX，1，2)中的配良紧集时，则称(LX，1，2)为配良紧空间。定理1:设(LX，1，2)是 L bts，A LX，若A 是配良紧集则对 M(L)，A 中的 网在A 中有一高度等于 的聚点。证明:设 A 是配良紧集，S=S(n)，n D是 A 中的 网，假设 S 在 A 中没有高度等于 的聚点。则对 x A 有 P(x)1(x)，即n(x)D 使当 nn(x)时 S(n)P(x)，令=P(x)|xA，则 是 A 的 1远域族，因为 A 是配良紧集，有有限子族 =P(xi)|i=1，k使 构成 A 的 2远域族，即 r*()使得对 yrA 有 i k 使 yrP(xi)。令 P=Ki=1P(xi)，则对 yr A 有 yr P，即yrA，r P(y)(1)因为 D 是定向集，n0D 使 n0n(xi)(i=1，k)，那么当 n n0时 S(n)P(xi)(i=1，k)，从而当 n n0时 S(n)P，即n n0S(n)P。(2)由式(1)、式(2)及 S(n)A 得，当 n n0时V(S(n)r。这与 S 在 A 中的 网概念矛盾，因此 S 在 A 中至少有一高度等于 的聚点。定义 8:设(LX，1，2)是 L bts，A LX，M(L)，如果 A 既为(LX，1)中的良紧集，又为(LX，2)中的良紧集，则称 A 为(LX，1，2)中的双良紧集。当 A=1X是(LX，1，2)中的双良紧集，称(LX，1，2)是双良紧空间。定理 2:设(LX，1，2)是 L bts，若 A 是配良紧集，则 A 是双良紧集。证明:设 M(L)，任取 A 的 1远域族 ，由于 A 是配良紧集，所以 的有限子族*构成 A 的 2远域族，而对于 A 的 2远域族 而言，又 的有限子族*构成 A 的 1远域族。而显然*是 的有限子族，故A 是(LX，1)中的良紧集。同理可证 A 是(LX，2)中的良紧集，故 A 是(LX，1，2)中的双良紧集。推论 1:设(LX，1，2)是配良紧空间，则(LX，1)和(LX，2)都是良紧空间。定理 3:设(LX，1，2)是 L bts，A LX，r pr(L)，A 是配良紧集当且仅当 A 的每个 r 1复盖 u1有有限子族 v1使 v1是 A 的 r+2复盖，每个 r 2复盖 u2都有有限子族 v2使 v2是 A的 r+1复盖。证明:必要性。设 A 是配良紧集，u1是 LX的r 1复盖，r pr(L)且 r 1，令 =u1，则 是 1 闭集族，且 xX，有 P=U，使得U(x)r，即 rP(x)。因为 rpr(L)，于是由 xr P 知 P 1(xr)，即 为 A 的 r 1远域族。因为 A 是配良紧集，u1有有限子族 v1，使得 =(v1)构成 A 的(r)2远域族，即 s*(r)，使 x X，有 V v1使 s V(x)，即s*(r)使 xX，有 Vv1使 V(x)71第 1 期薛雨佳等:L 双拓扑空间中的配良紧性s，因此 u1有有限子族 v1使 v1是 A 的 r+2复盖。同理可证对于 A 中每个 r 2复盖都有有限子族构成 A 的 r+1复盖。充分性。设 M(L)，是 A 的 1远域族。令 u1=，r=，则由 是分子知 r pr(L)，易证 u1是 A 的 r 1复盖，因此 u1有有限子族 v1构成 A 的 r+2复盖。令 =v1，则 是 的有限子族，易证 是 A 的 2远域族。同理可证 A 的任一 2远域族都有有限子族构成 A 的 1远域族，所以 A 是配良紧集。3L 双拓扑空间中配良紧集的主要性质定理 4:设(LX，1，2)是 L bts，A LX，M(L)，B 1 2，则1)若 A 是(1，2)弱配良紧的，则 A B 也是(1，2)弱配良紧的;2)若 A 是配良紧的，则 AB 也是配良紧的。证明:1)设 是 AB 的任一 1远域族，令 =B为 A 的 1远域族，因为 A 是(1，2)弱配良紧的，所以 的有限子族*，使*为 A 的 2远域族，令 =*/B，则 *，由此可得 为 的有限子族，因此 可以构成 A 的 2远域族，故 A B 是(LX，1，2)中的弱配良紧集。2)同理可证。推论2:L 双拓扑空间的配良紧性对双闭子集遗传。定义 9:设(LX，1，2)和(LY，1，2)是 L bts，且 f:LXLY是映射，若 f:(LX，1)(LY，1)与 f:(LX，2)(LY，2)都是强同胚映射，则称映射 f:(LX，1，2)(LY，1，2)为双强同胚映射。类似地可以定义双连续映射、双闭映射等概念。定理 5:设(LX，1，2)与(LY，1，2)是 2 个L bts，f:(LX，1，2)(LY，1，2)是满的、双连续的、双闭的 L 值 Zadeh 型函数，那么当 A 是(LX，1，2)中的配良紧集时，f(A)是(LY，1，2)中的配良紧集。证明:设 A 是配良紧集，M(L)，是f(A)的 1远域族，则对 x A，f(x)=(f(x)是 f(A)中高为 的分子，所以 中有 1 闭集 P 使(f(x)P 或 P(f(x)，即 f1(P)(x)或 x f1(P)。因为 f 双连续，所以 f1(P)是(LX，1，2)中 1 闭 集，因 此f1(P)1(x)，从而 f1()是 A 的 1远域族。由 A 的配良紧性知 有有限子族 =P1，P2，Pn)使 f1()是 A 的 2远域族。以下只需证明 就是 f(A)的 2远域族，由 f 是满的双闭映射知 Pi=f(f1(Pi)，i=1，n 都是 2 闭集，为此又只需证明 s*()使对 f(A)中任一高为 s 的分子 ys而言，j m 使 ys pj，即只需证明s *()，ysf(A)，ys P1 P2 Pm(4)由 f1()是 A 的 2远域族知有 r *()使对 xr A 有 j m 使 xr f1(Pj)，即r *()，xrA，xr f1(P1)f1(P2)f1(Pm)(5)设式(4)不成立，即s *()，ysf(A)，ysP1 P2 Pm(6)因为 =sup*()，于是由极小集的定义知()=(sup*()=(s)|s*()，那么由 r*()(a)，可知有 s*()使r (s)，因为 r 是分子，所以有 r *(s)。设ys满足式(6)，则 f(A)ys，由 L 值 Zadeh 型函数的定义得f(A)(y)=sup A(x)|f(x)=y s。由 r *(s)知有 x X 使 A(x)r 且 f(x)=y。这时 xr是 A 中的分子，从而满足式(5)。又(f(x)r=yrys，所以由式(6)得f(xr)=(f(x)r=yrP1 P2 Pm即xrf1(P1 P2 Pm)=f1(P1)f1(P2)f1(Pm)