2023年新课标高考数学理科试题分类精编15椭圆高中数学.docx

202323年-2023年新课标高考数学〔理科〕试题分类精编 第15局部-椭圆 一.选择题 1.(2023年山东理10)设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26．假设曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，那么曲线的标准方程为〔 〕 A． B． C． D． 解：对于椭圆，曲线为双曲线，， 标准方程为： 二.填空题 1.(2023年江苏13)如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，那么该椭圆的离心率为 ▲ .学科网 [解析] 考查椭圆的根本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线的方程为：； 直线的方程为：。二者联立解得：， 那么在椭圆上， ，解得： 2.(2023年广东理11)巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，那么椭圆的方程为 ． 【解析】，，，，那么所求椭圆方程为. 3.(2023年上海理9)、是椭圆〔＞＞0〕的两个焦点，为椭圆上一点，且.假设的面积为9，那么=____________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】3【解析】依题意，有，可得4c2＋36＝4a2， 即a2－c2＝9，故有b＝3。 4.(2023年江苏12)在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，为半径作圆，假设过作圆的两条切线相互垂直，那么椭圆的离心率为 ▲ 【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得． 【答案】 三.解答题 1.(2023年陕西理20)〔本小题总分值13分〕 如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2, | A1B1| = , (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，请说明理由。 解 〔1〕由知a2+b2=7, ① 由知a=2c, ② 又b2=a2-c2 ③ 由 ①②③解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为。 〔2〕设A,B两点的坐标分别为〔x1,y1〕(x2,y2)假设使成立的直线l不存在，当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m, 由l与n垂直相交于P点且得[来源:学。科。网]，即m2=k2+1. ∵, 2.〔2023年全国理20〕〔本小题总分值12分〕 设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。 〔1〕求的离心率；〔2〕 设点满足，求的方程 解：〔I〕由椭圆定义知，又， 得的方程为，其中。 设，，那么A、B两点坐标满足方程组 化简的那么 因为直线AB斜率为1，所以 得故所以E的离心率 〔II〕设AB的中点为，由〔I〕知，。 由，得，即得，从而 故椭圆E的方程为。 3.(2023年天津理20)(本小题总分值12分) 椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。 (Ⅰ)求椭圆的方程： (Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点。点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4。求的值。 【命题意图】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等根底知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。 【解析】〔1〕解：由，得，再由，得 由题意可知， 解方程组 得 a=2,b=1 所以椭圆的方程为 (2)解：由〔1〕可知A〔-2,0〕。设B点的坐标为〔x1,,y1〕,直线l的斜率为k，那么直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组 由方程组消去Y并整理，得 由得 设线段AB是中点为M，那么M的坐标为 以下分两种情况： 〔1〕当k=0时，点B的坐标为〔2,0〕。线段AB的垂直平分线为y轴，于是 〔2〕当K时，线段AB的垂直平分线方程为 令x=0，解得由 整理得 综上。 4.〔2023年北京理19〕〔本小题共14分〕 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A〔-1,1〕关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程； (Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由。 解：〔1〕因点B与〔-1,1〕关于原点对称，得B点坐标为〔1，-1〕。 设P点坐标为，那么，由题意得， 化简得：。即P点轨迹为： 〔2〕因，可得， 又， 假设，那么有， 即设P点坐标为，那么有： 解得：，又因，解得。 故存在点P使得与的面积相等，此时P点坐标为或 5.(2023年福建理17)〔本小题总分值13分〕 中心在坐标原点O的椭圆C经过点A〔2，3〕，且点F〔2，0〕为其右焦点。 〔1〕求椭圆C的方程； 〔2〕是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？假设存在，求出直线的方程；假设不存在，请说明理由。 【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等根底知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 【解析】〔1〕依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为 F〔-2，0〕，从而有，解得， 又，所以，故椭圆C的方程为。 〔2〕假设存在符合题意的直线，其方程为，由得， 因为直线与椭圆有公共点，所以有，解得， 另一方面，由直线OA与的距离4可得：，从而， 由于，所以符合题意的直线不存在。 6.(2023年天津理19)〔本小题总分值13分〕 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系〔图6〕在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B两点的距离之和不超过km区域。 〔Ⅰ〕求考察区域边界曲线的方程； 〔Ⅱ〕如图6所示，设线段P1P2,P2P3是冰川的局部边界线〔不考虑其他边界线〕，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。 图6 7.〔2023年山东理21〕〔本小题总分值12分〕 如图，椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. 〔Ⅰ〕求椭圆和双曲线的标准方程 〔Ⅱ〕设直线、的斜率分别为、，证明； 〔Ⅲ〕是否存在常数，使得恒成立？假设存在，求的值；假设不存在，请说明理由. 【解析】〔Ⅰ〕由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为〔，0〕，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。 〔Ⅱ〕设点P〔，〕，那么=，=，所以= ，又点P〔，〕在双曲线上，所以有，即，所以 =1。 〔Ⅲ〕假设存在常数，使得恒成立，那么由〔Ⅱ〕知，所以设直线AB的方程为，那么直线CD的方程为， 由方程组消y得：，设，， 那么由韦达定理得： 所以|AB|==，同理可得 |CD|===， 又因为，所以有=+ =，所以存在常数，使得恒成立。 【命题意图】此题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题〔3〕是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力， 〔标准答案〕〔21〕本小题主要考查椭圆、双曲线的根本概念和根本性质。考查直线和椭圆的位置关系，考查坐标化、定值和存在性问题，考查数行结合思想和探求问题的能力。 解〔Ⅰ〕设椭圆的半焦距为c，由题意知：，2a+2c=4(+1)所以a=2，c=2，又=，因此b=2。 故 椭圆的标准方程为由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。 所以m=2，因此 双曲线的标准方程为 〔Ⅱ〕设A〔，〕，B〔〕，P〔〕， 那么=，。因为点P在双曲线上，所以。 因此，即 同理可得.那么 ， 又 ， . 故 因此 存在，使恒成立. 8.(2023年辽宁理20)〔本小题总分值12分〕 设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,. (I) 求椭圆C的离心率； (II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程. 解：设，由题意知＜0，＞0. 〔Ⅰ〕直线l的方程为 ，其中. 联立得 解得因为，所以. 即 得离心率 . 6分 〔Ⅱ〕因为，所以.由得.所以，得a=3，.椭圆C的方程为. …12分 也为解答圆锥曲线问题提供了新的工具，应重视运用向量解决圆锥曲线问题的能力。 9.(2023年安徽理19)〔本小题总分值13分〕 椭圆经过点，对称轴为坐标轴， 焦点在轴上，离心率。 (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程； (Ⅲ)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？ 假设存在，请找出；假设不存在，说明理由。 10.(2023年浙江理21) 〔此题总分值15分〕 m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. 〔Ⅰ〕当直线过右焦点时，求直线的方程； 〔Ⅱ〕设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.假设原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. 解析：此题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等根底知识，同时考察解析几何的根本思想方法和综合解题能力。 〔Ⅰ〕解：因为直线经过所以,得，又因为，所以，故直线的方程为。 〔Ⅱ〕解：设。由， 消去得 那么由，知，且有。 由于，故为的中点，由， 可知 设是的中点，那么，由题意可知 即即 而 所以即又因为且所以。 所以的取值范围是。 11.(2023年上海理〔此题总分值18分〕 此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，第3小题总分值9分. 椭圆的方程为，点P的坐标为〔-a，b〕. 〔1〕假设直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标； 〔2〕设直线交椭圆于、两点，交直线于点.假设，证明：为的中点； 〔3〕对于椭圆上的点Q〔a cosθ，b sinθ〕〔0＜θ＜π〕，如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的θ的取值范围. 解析：(1) ； (2) 由方程组，消y得方程， 因为直线交椭圆于、两点，所以D>0，即， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，那么， 由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，又因为，所以，故E为CD的中点； (3) 求作点P1、P2的步骤：1°求出PQ的中点， 2°求出直线OE的斜率， 3°由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率， 4°从而得直线CD的方程：， 5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标． 欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内， 所以，化