2023学年中考数学考点一遍过考点21定义命题定理含解析.docx

考点21 定义、命题、定理 一、定义与命题 1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． 2．判断一件事情的语句叫做命题． 3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 二、真命题、假命题 1．正确的命题叫做真命题． 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． 3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 三、逆命题 1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题． 2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论． 4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题． 四、公理与定理 1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理． 2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． 4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论． 五、互逆命题 1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理． 3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理． 六、反证法 1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法的步骤： ①假设命题结论的反面正确； ②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论； ③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 考向一　命题的改写 每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的．但有些命题的题设和结论不明显，它不是以“如果……那么……”的形式给出的．区分这类命题的题设和结论的具体方法：添上省去的词语后再进行分析． 典例1　把“两个邻角的角平分线互相垂直”写成“如果……，那么……”的形式为_________． 【答案】如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直 【解析】如果的后面是条件，那么的后面是结论，注意语句的通顺，表达的准确. 故答案为如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直. 1．【浙江省绍兴市浣江教育集团2023年–2023年学年八年级上学期期中数学试题】把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式_________． 考向二　真命题、假命题 1．判断语句是否为命题要抓住两条：①命题必须是一个完整的带有判断性的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断． 2．辨别命题的真假时，对命题的正确性理解一定要准确，进行辨别时要熟练掌握相关的定理、公理、定义．要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法解决．命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 典例2　下列命题是真命题的是 A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形 【答案】C 【解析】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形；故本选项错误； B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．故本选项错误； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形．故本选项正确； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；故选C． 2．下列命题中，假命题的是 A．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．一组邻边相等的矩形是正方形 D．菱形对角线互相垂直平分 考向三　互逆命题与互逆定理 1．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． 2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 3．“题设与结论正好相反”可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设． 典例3　下列命题中，逆命题为真命题的是 A．对顶角相等 B．若a=b，则|a|=|b| C．同位角相等，两直线平行 D．若ac2<bc2，则a<b 【答案】C 【解析】A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，假命题；B、若a=b，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=b，假命题；C、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，两直线平行，真命题；D、若ac2<bc2，则a<b的逆命题是若a<b，则ac2<bc2，假命题；故选C． 3． “内错角相等，两直线平行”的逆命题是__________． 4．有下列命题： ①若x2=x，则x=1； ②若a2=b2，则a=b； ③线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ④相等的弧所对的圆周角相等； 其中原命题与逆命题都是真命题的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考向四　反证法 ①当命题的结论涉及“否定”“至多”“至少”“无限”“无数”“唯一”时常用反证法． ②矛盾的类型： a．与已知定义、定理、公理相矛盾； b．与已知条件相矛盾； c．推出自相矛盾的结果． ③用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，有哪些情况，不要遗漏；利用反证法证明时，每一 步都要有依据，直到推出矛盾． 典例4　【福建省福州市仓山区福州时代中学2023年–2023年学年九年级上学期10月月考数学试题】 用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角”时，下列假设正确的是 A．三角形中最少有一个角是直角 B．三角形中没有一个角是直角 C．三角形中三个角全是直角 D．三角形中有两个或三个角是直角 【答案】D 【解析】根据反证法的步骤，则可假设为三角形中有两个或三个角是直角．故选D． 【名师点睛】本题考查反证法，判断命题的反面是解题的关键． 5．【山西省临汾市襄汾县2023年–2023年学年八年级上学期期末数学试题】用反证法证明“若，，则”，第一步应假设： A． B．与垂直 C．与不一定平行 D．与相交 6．【江苏省泰兴市黄桥初级中学2015–2016学年八年级下学期期中考试数学试题】用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设_________． 1．下列命题为真命题的是 A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 B．两直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂直于同一直线的两直线互相垂直 D．三角形的外角和为 2．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是 A．120°，60° B．95°，105° C．30°，60° D．90°，90° 3．【山东省淄博市沂源县2023年–2023年学年七年级下学期期末数学试题】下列命题的逆命题是真命题的是 A．若a>0，b>0，则a+b>0 B．直角都相等 C．同位角相等，两直线平行 D．若a＝b，则|a|＝|b| 4．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 A．a=3，b=2 B．a=3，b=–2 C．a=–3，b=–2 D．a=–2，b=–3 6．写出一个能说明命题：“若，则”是假命题的反例：__________. 7．请写出“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题：__________． 8．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____． 9．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+=0，当b<0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是__________． 10．若命题“不是方程ax–2y=1的解”为假命题，则实数a满足：__________． 11．如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③∠A=∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 12．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）写出这个定理的逆命题； （2）判断逆命题的真假并说明你的理由． 13．【广西贺州市八步区2023年–2023年学年八年级上学期段考数学试题】写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题． （1）如果，，那么． （2）对顶角相等． 13．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题： A：①②⇒③；B：①③⇒②；C：②③⇒①． （1）以上三个命题是真命题的为__________（直接作答）； （2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）． 14．阅读以下证明过程： 已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2． 证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2． 请用类似的方法证明以下问题： 已知：关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+2m-3=0有两个实根x1和x2． 求证：x1≠x2． 1．【江苏省常州市2023年年中考数学试题】判断命题“如果n<1，那么n2﹣1<0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为 A．﹣2 B．﹣ C．0 D． 2．【2023年年四川省巴中市中考数学试题】下列命题是真命题的是 A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．四边相等的平行四边形是正方形 3．【2023年年四川省凉山州中考数学试题】下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 4．【湖南省娄底市2023年年中考数学试题】下列命题是假命题的是 A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．n边形的内角和是 D．旋转不改变图形的形状和大小 5．【2023年年广东省深圳市中考数学试题】下列命题正确的是 A．矩