2023学年中考数学必考考点专题22正方形含解析.docx

专题22 正方形 专题知识回顾 1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2．正方形的性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等； （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴； （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形； （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3．正方形的判定 判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形 先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。 4．正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b ，S正方形= 专题典型题考法及解析 【例题1】（2023年湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（　　） A．2 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】设正方形ADOF的边长为x， 由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6， ∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10， 在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2， 即（6+x）2+（x+4）2＝102， 整理得，x2+10x﹣24＝0， 解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去）， ∴x＝2， 即正方形ADOF的边长是2 【例题2】（2023年•四川省凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF． 【答案】见解析。 【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，根据AM⊥BE，即可得出∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF． 证明：∵四边形ABCD是正方形． ∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA． 又∵AM⊥BE， ∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE， ∴∠MEA＝∠AFO． ∴△BOE≌△AOF（AAS）． ∴OE＝OF． 专题典型训练题 一、选择题 1．（2023年内蒙古包头）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（　　） A． B． C．﹣1 D． 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1， 在Rt△ABE和Rt△ADF中，， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠BAE＝∠DAF， ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE+∠DAF＝30°， ∴∠DAF＝15°， 在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示： ∴AG＝FG，∠DGF＝30°， ∴DF＝FG＝AG，DG＝DF， 设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x， ∵AG+DG＝AD， ∴2x+x＝1， 解得：x＝2﹣， ∴DF＝2﹣， ∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1； 故选：C． 2．（2023年湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺 时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2023年次得到正方形 OA2023年B2023年C2023年，那么点A2023年的坐标是（　　） A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1） 【答案】A. 【解析】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1， ∴A（0，1）， ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1， ∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…， 发现是8次一循环，所以2023年÷8＝252…余3， ∴点A2023年的坐标为（，﹣） 故选：A． 3.（2023年•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为 【答案】A 【解析】阴影部分面积=1××= 4.（2023年•贵州省铜仁市）如图，正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5\ 【答案】C． 【解答】∵正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点 ∴AD＝DC＝BC＝AB＝6，AE＝BE＝3，∠A＝∠C＝∠ABC＝90° ∵△ADE沿DE翻折得到△FDE ∴∠AED＝∠FED，AD＝FD＝6，AE＝EF＝3，∠A＝∠DFE＝90° ∴BE＝EF＝3，∠DFG＝∠C＝90° ∴∠EBF＝∠EFB ∵∠AED+∠FED＝∠EBF+∠EFB ∴∠DEF＝∠EFB ∴BF∥ED 故结论①正确； ∵AD＝DF＝DC＝6，∠DFG＝∠C＝90°，DG＝DG ∴Rt△DFG≌Rt△DCG ∴结论②正确； ∵FH⊥BC，∠ABC＝90° ∴AB∥FH，∠FHB＝∠A＝90° ∵∠EBF＝∠BFH＝∠AED ∴△FHB∽△EAD ∴结论③正确； ∵Rt△DFG≌Rt△DCG ∴FG＝CG 设FG＝CG＝x，则BG＝6﹣x，EG＝3+x 在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+（6﹣x）2＝（3+x）2 解得：x＝2 ∴BG＝4 ∴tan∠GEB＝＝ 故结论④正确； ∵△FHB∽△EAD，且 ∴BH＝2FH 设FH＝a，则HG＝4﹣2a 在Rt△FHG中，由勾股定理得：a2+（4﹣2a）2＝22 解得：a＝2（舍去）或a＝ ∴S△BFG＝×4×＝2.4 故结论⑤错误。 5．（2023年黑龙江省绥化）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（　　） ①当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个 ②当0＜x＜4﹣2时，P点最多有9个 ③当P点有8个时，x＝2﹣2 ④当△PEF是等边三角形时，P点有4个 A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】B 【解析】①当x＝0（即E、A两点重合）时，如下图， 分别以A、F为圆心，2为半径画圆，各2个P点， 以AF为直径作圆，有2个P点，共6个， 所以，①正确。 ②当0＜x＜4﹣2时，P点最多有8个， 故②错误。 二、填空题 6．（2023年湖南邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是 . 【答案】4． 【解析】∵勾a＝6，弦c＝10， ∴股＝＝8， ∴小正方形的边长＝8﹣6＝2， ∴小正方形的面积＝22＝4. 故答案是：4. 7．（2023年湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点， 连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝　 　． 【答案】2． 【解析】解：连接AF， ∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点， ∴CF＝BE，， 在△ABE和△BCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， 又∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CBF+∠BEA＝90°， ∴∠BPE＝∠APF＝90°， ∵∠ADF＝90°， ∴∠ADF+∠APF＝180°， ∴A、P、F、D四点共圆， ∴∠AFD＝∠APD， ∴tan∠APD＝tan∠AFD＝＝2， 故答案为：2． 8.（2023年•湖北省随州市）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．给出下列判断： ①∠EAG=45°； ②若DE=a，则AG∥CF； ③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2； ④若CF=FG，则DE=（-1）a； ⑤BG•DE+AF•GE=a2． 其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号） 【答案】①②④⑤ 【解析】①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=AD=a， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE ， ∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE，∠DAE=∠FAE， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴∠BAG=∠FAG， ∴∠GAE=∠GAF+∠EAF=90°=45°，故①正确； ②∴BG=GF，∠BGA=∠FGA， 设BG=GF=x，∵DE=a，∴EF=a，∴CG=a-x， 在Rt△EGC中，EG=x+a，CE=a，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2， 解得x=a，此时BG=CG=a， ∴GC=GF=a，∴∠GFC=∠GCF，且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF， ∴2∠AGB=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF，∴②正确； ③若E为CD的中点，则DE=CE=EF=， 设BG=GF=y，则CG=a-y，CG2+CE2=EG2， 即，解得，y=a， ∴BG=GF=，CG=a-，∴， ∴，故③错误； ④当CF=FG，则∠FGC=∠FCG， ∵∠FGC+∠FEC=∠FCG+∠FCE=90°，∴∠FEC=∠FCE，∴EF=CF=GF， ∴BG=GF=EF=DE，∴EG=2DE，CG=CE=a-DE，∴，即， ∴DE=（-1）a，故④正确； ⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c， 由勾股定理得，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2，整理得bc=a2-ab-ac， ∴=，即S△CEG=BG•DE， ∵S△ABG=S△AFG，S△AEF=S△ADE，∴， ∵S五边形ABGED+S△CEG=S正方形ABCD，∴BG•DE+AF•EG=a2，故⑤正确．故答案为：①②④⑤． ①由折叠得AD=AF=AB，再由HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正误； ②设BG=GF=x，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，求得BG=a，进而得GC=GF，得∠GFC=∠GCF，再证明∠AGB=∠GCF，便可判断正误； ③设BG=GF=y，则CG=a-y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得△CGF的面积，便可判断正误； ④证明∠FEC=∠FCE，得EF=CF=GF，进而得EG=2DE，CG=CE=a-DE，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误； ⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得bc=a2-ab-ac，再得△CEG的面积为BG•DE，再由五边形ABGED的面积加上△CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误． 9．（2023年福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA