吉林省“五地六校”合作体2023学年高考数学一模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以下关于的命题，正确的是 A．函数在区间上单调递增 B．直线需是函数图象的一条对称轴 C．点是函数图象的一个对称中心 D．将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象 2．设实数、满足约束条件，则的最小值为（ ） A．2 B．24 C．16 D．14 3．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）. A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸 4．已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 6．在中，角所对的边分别为，已知，则（ ） A．或 B． C． D．或 7．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A． B． C． D． 8．已知集合,，则 A． B． C． D． 9．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 10．在条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是（ ） A． B． C． D．2 11．已知集合，，，则( ) A． B． C． D． 12．的展开式中的系数为( ) A．－30 B．－40 C．40 D．50 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则的取值范围是_________． 14． “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种. 15．已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点连接，则所得弦长介于与之间的概率为__________． 16．已知，满足，则的展开式中的系数为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）函数，若对于，使得成立，求的取值范围. 18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M，N两点. （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）若点P的极坐标为，，求的值. 19．（12分）已知矩形中，，E，F分别为，的中点.沿将矩形折起，使，如图所示.设P、Q分别为线段，的中点，连接. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 20．（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升. 将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，. 3 26.474 1.903 10 209.76 14.05 （1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程. （2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量. 线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，. 参考数据： 4 5 6 7 8 的近似值 55 148 403 1097 2981 21．（12分）在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、．试判断是否为定值,并说明理由． 22．（10分）如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。 （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用辅助角公式化简函数得到，再逐项判断正误得到答案. 【题目详解】 A选项，函数先增后减，错误 B选项，不是函数对称轴，错误 C选项，，不是对称中心，错误 D选项，图象向左平移需个单位得到，正确 故答案选D 【答案点睛】 本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键. 2、D 【答案解析】 做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【题目详解】 做出满足的可行域，如下图阴影部分， 根据图象，当目标函数过点时，取得最小值， 由，解得，即， 所以的最小值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 3、B 【答案解析】 试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B. 考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积. 4、C 【答案解析】 令，求出在的对称轴，由三角函数的对称性可得，将式子相加并整理即可求得的值. 【题目详解】 令，得，即对称轴为. 函数周期，令，可得.则函数在上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知， 将以上各式相加得： 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为的形式. 5、C 【答案解析】 求出，进而可求,即能求出向量夹角. 【题目详解】 解：由题意知，. 则 所以，则向量与的夹角为. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式 进行计算. 6、D 【答案解析】 根据正弦定理得到，化简得到答案. 【题目详解】 由，得， ∴，∴或，∴或． 故选： 【答案点睛】 本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 7、A 【答案解析】 利用计算即可，其中表示事件A所包含的基本事件个数，为基本事件总数. 【题目详解】 从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有种不同结果， 由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 8、D 【答案解析】 因为,,所以,,故选D． 9、C 【答案解析】 由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可. 【题目详解】 ，，或（舍）. ，，. 当，时； 当，时； 当，时，，所以最小值为. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题. 10、B 【答案解析】 画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【题目详解】 如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知： 当时，有最大值为，即，故. . 当，即时等号成立. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 11、A 【答案解析】 求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得. 【题目详解】 由，得，所以，所以. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 12、C 【答案解析】 先写出的通项公式，再根据的产生过程，即可求得. 【题目详解】 对二项式， 其通项公式为 的展开式中的系数 是展开式中的系数与的系数之和. 令，可得的系数为； 令，可得的系数为； 故的展开式中的系数为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先根据题意，求出的解得或，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情况讨论求出的取值范围. 【题目详解】 解：令t=f（x），函数有3个不同的零点， 即+m=0有两个不同的解，解之得 即或 因为的导函数 ，令，解得x>e，，解得0<x<e， 可得f（x）在（0，e）递增，在递减； f(x)的最大值为 ，且 且f(1)=0； 要使函数有3个不同的零点， （1）有两个不同的解，此时有一个解； （2）有两个不同的解，此时有一个解 当有两个不同的解，此时有一个解， 此时 ，不符合题意； 或是不符合题意； 所以只能是 解得 ， 此时=-m， 此时 有两个不同的解，此时有一个解 此时 ，不符合题意； 或是不符合题意； 所以只能是解得 ， 此时=， 综上：的取值范围是 故答案为 【答案点睛】 本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题. 14、 【答案解析】 先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果. 【题目详解】 若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种; 若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种; 因此共有种. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 15、 【答案解析】 在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R， 其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为 •2πR， 则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==； 故答案为：． 16、1 【答案解析】 根据二项式定理求出，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得系数． 【题目详解】 由题意，． ∴的展开式中的系数为． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）当时，在上增；当时，在