北京师范大学附属实验中学2023学年高考数学二模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A．2 B． C．4 D． 3．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（ ）． A． B． C． D． 4．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，，则与共线的单位向量为( ) A． B． C．或 D．或 6．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中，为无理数） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 7．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ） A． B．3 C．1 D． 8．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ） A． B． C． D． 9．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、、元）．甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D． 12．已知角的终边经过点,则 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______． 14．若实数满足不等式组，则的最小值是___ 15．已知a，b均为正数，且，的最小值为________. 16．经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是________________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设函数． （1）求不等式的解集； （2）若的最小值为，且，求的最小值． 18．（12分）已知数列满足：对任意，都有. （1）若，求的值； （2）若是等比数列，求的通项公式； （3）设，，求证：若成等差数列，则也成等差数列. 19．（12分）如图，在直三棱柱中，分别是中点，且，. 求证：平面； 求点到平面的距离. 20．（12分）已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点. （Ⅰ）求点的轨迹的方程； （Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值. 21．（12分）在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，为外一点，，求四边形面积的最大值. 22．（10分）已知函数，. （1）若曲线在点处的切线方程为，求，； （2）当时，，求实数的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 利用复数的除法运算化简，求得对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【题目详解】 ，对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. 【答案点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 2、A 【答案解析】 对复数进行乘法运算，并计算得到，从而得到虚部为2. 【题目详解】 因为，所以z 的虚部为2. 【答案点睛】 本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意. 3、B 【答案解析】 奇函数满足定义域关于原点对称且，在上即可. 【题目详解】 A：因为定义域为，所以不可能时奇函数，错误； B：定义域关于原点对称，且 满足奇函数，又，所以在上，正确； C：定义域关于原点对称，且 满足奇函数，，在上，因为，所以在上不是增函数，错误； D：定义域关于原点对称，且， 满足奇函数，在上很明显存在变号零点，所以在上不是增函数，错误； 故选：B 【答案点睛】 此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目. 4、B 【答案解析】 由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种，由古典概型的概率公式即得解. 【题目详解】 由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种 由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为： 故选：B 【答案点睛】 本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 5、D 【答案解析】 根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案. 【题目详解】 因为，，则， 所以， 设与共线的单位向量为， 则， 解得 或 所以与共线的单位向量为或. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义. 6、C 【答案解析】 对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的. 【题目详解】 由题意，对于①中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的； 对于②中，设函数，则，所以函数为单调递增函数， 因为，则 又由，所以，即，所以②不正确； 对于③中，设函数，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以，即，即，所以是正确的. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 7、D 【答案解析】 整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【题目详解】 由题,, 因为纯虚数,所以,则, 故选:D 【答案点睛】 本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算. 8、C 【答案解析】 利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可. 【题目详解】 设“该重卦至少有2个阳爻”为事件.所有“重卦”共有种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种,只有1个阳爻的情况有种,故,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题. 9、B 【答案解析】 甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得． 【题目详解】 由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是， ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为 ． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础． 10、D 【答案解析】 双曲线的渐近线方程是，所以，即 ， ，即 ，，故选D. 11、B 【答案解析】 因为将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，可得，结合已知，即可求得答案. 【题目详解】 将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 ， 又和的图象都关于对称， 由， 得，， 即， 又， . 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 12、D 【答案解析】 因为角的终边经过点,所以,则, 即.故选D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果. 【题目详解】 由题意作出区域，如图中阴影部分所示， 易知，故 ，又，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，即，故所求外接圆的面积为. 【答案点睛】 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 14、-1 【答案解析】 作出可行域，如图： 由得,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值，A（1,0） 所以-1 故答案为-1 15、 【答案解析】 本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值. 【题目详解】 因为， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题. 16、 【答案解析】 作出图形，设点，则、，设点，利用点差法得出，利用斜率公式得出，进而可得出，可得出，由此可求得的值. 【题目详解】 设点，则、，设点， 则，两式相减得，即， 即， 由斜率公式得，，，故， 因此，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）或（2）最小值为． 【答案解析】 （1）讨论，，三种情况，分别计算得到答案. （2）计算得到，再利用均值不等式计算得到答案. 【题目详解】 （1） 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得． 所以所求不等式的解集为或． （2）根据函数图像知：当时，，所以． 因为 ， 由，可知， 所以， 当且仅当，，时，等号成立． 所以的最小值为． 【答案点睛】 本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用. 18、（1）3；（2）；（3）见解析. 【答案解析】 （1）依据下标的关系，有，，两式相加，即可求出；（2）依据等比数列的通项公式知，求出首项和公比即可。利用关系式，列出方程，可以解出首项和公比；（3）利用等差数列的定义，即可证出。 【题目详解】 （1）因为对任意，都有，所以，，两式相加，，解得； （2）设等比数列的首项为，公比为，因为对任意，都有， 所以有，解得，又 ， 即有，化简得，，即， 或，因为，化简得，所以 故。 （3）因为对任意，都有，所以有 ，成等差数列，设公差为，