2023学年中考数学必考考点专题21菱形含解析.docx

专题21 菱形 专题知识回顾 1．菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 3.菱形的判定定理： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。 4．菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 专题典型题考法及解析 【例题1】（2023年内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD为菱形， ∴CD＝BC=204=5，且O为BD的中点， ∵E为CD的中点， ∴OE为△BCD的中位线， ∴OE=12CB＝2.5 【例题2】（2023年广西梧州）如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是　　． 【答案】 【解析】连接交于，如图所示： 四边形是菱形， ，，，，， ， ， ， 由旋转的性质得：，， ， 四边形是菱形，， ， ，， ，， 。 专题典型训练题 一、选择题 1.（2023年四川泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（　　） A．8 B．12 C．16 D．32 【答案】 【解析】如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO=12AC，DO＝BO=12BD，AC⊥BD， ∵面积为28， ∴12AC•BD＝2OD•AO＝28 ① ∵菱形的边长为6， ∴OD2+OA2＝36 ②， 由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64． ∴OD+AO＝8， ∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16． 2.(2023年•四川省绵阳市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】过点E作EF⊥x轴于点F， ∵四边形OABC为菱形，∠AOC=60°， ∴=30°，∠FAE=60°， ∵A（4，0）， ∴OA=4， ∴=2， ∴，EF===， ∴OF=AO-AF=4-1=3， ∴． 3.（2023年•四川省广安市）如图，在边长为的菱形中，，过点作于点，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G则CG等于（ ） A. B.1 C. D. . 【答案】A 【解析】因为∠B=30°，AB=，AE⊥BC， 所以BE=，所以EC=-， 则CF=3-， 又因为CG∥AB， 所以, 所以CG=. 4.（2023年四川省雅安市）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线 ，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【解析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线性质，得EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，又由AB=CD，得EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形． ∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵AB=CD，∴EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，故选C． 5. （2023年·贵州安顺）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图： ①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点； ②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE． 则下列说法错误的是（　　） A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE C．若AB＝4，则BE＝4 D．sin∠CBE＝ 【答案】C 【解析】由作法得AE垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE， 在Rt△ADE中，cosD＝＝， ∴∠D＝60°， ∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确； ∵S△ABE＝AB•AE，S△ADE＝DE•AE， 而AB＝2DE， ∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的结论正确； 若AB＝4，则DE＝2， ∴AE＝2， 在Rt△ABE中，BE＝＝2，所以C选项的结论错误； 作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图， 设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4a，BE＝2a， 在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°， ∴CH＝a，EH＝a， ∴sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的结论正确． 故选：C． 6.（2023年·贵州贵阳）如图所示，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（　　） A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm 【答案】A 【解析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长． ∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∵菱形ABCD的周长是4cm， ∴AB＝BC＝AC＝1cm． 7.（2023年•贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60° ∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60° ∵CE＝CD，CF＝CB ∴CE＝CF＝ ∴△CEF为等边三角形 ∴S△CEF＝＝ 8.（2023年•河北省）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 【答案】D． 【解答】∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°， ∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°， ∴∠1＝15° 二、填空题 9.（2023年广西北部湾）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH= . 【答案】. 【解析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果． ∵四边形ABCD是菱形， ∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD， ∴BD=8. ∵S菱形ABCD=AC×BD=24，∴AC=6，∴OC=AC=3， ∴BC==5， ∵S菱形ABCD=BC×AH=24，∴AH=. 10．（2023年内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是　 　． 【答案】﹣1 【解析】过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM， ∵AM＝AD，AD＝CD＝3 ∴AM＝1，MD＝2 ∵CD∥AB， ∴∠HDM＝∠A＝60° ∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝ ∴CH＝4 ∴MC＝＝ ∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN， ∴AM＝A'M＝1， ∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上， ∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值 ∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1 11．（2023年湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四 边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边 形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N 的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一 点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是　 　．（填 序号） 【答案】①②④． 【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确； ②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误； ③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误； ④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1）， ∴MP＝＝，PQ＝+1， ∵点P在第一象限， ∴m＞0， ∴MP＝+1， ∴MP＝PQ， 又∵MN∥PQ， ∴四边形PMNQ是广义菱形． ④正确； 故答案为①②④． 12.（2023年湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　 　 　． 【答案】24 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO， ∵点E是BC的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴CD＝2OE＝2×3＝6， ∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24 13.（2023年北京市） 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为_______． 【答案】12 【解析】设图1中小直角三角形的两直角边长分别为a，b （a>b）； 则由图2和图3列得方程组，由加减消元法得， ∴菱形的面积.故填12. 14．（2023年辽宁抚顺）如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠A＝60°，BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为　 　cm2． 【答案】4． 【解析】连接BD，判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ABD＝60°，再求出∠CBD＝60°，然后求出阴影部分的面积＝S△ABD，计算即可得解． 如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝60°， 又∵菱形的对边AD∥BC， ∴∠ABC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠CBD＝120°﹣60°＝60°， ∴S阴影＝S扇形BDC﹣（S扇形ABD﹣S△ABD）， ＝S△ABD， ＝×4×＝4cm2． 三、解答题 15．（2023年湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF， 求证：∠1＝∠2． 【答案】见解析． 【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， 在△ADF和△CDE中，， ∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠2． 16. （2023年•海南省）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q． （1）求证：△PDE≌△QCE； （2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时， ①求证：四边形AFEP是平行四边形； ②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由． 【解析】（1）由四边形ABCD是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由E是CD的中点知DE＝CE，结合∠DEP＝∠