2023学年九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质讲练含解析.docx

24.1圆的有关性质（讲练） 一、知识点 1.与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过 圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的 弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个 交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. 知识点二 ：垂径定理及其推论 2.垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中： ① 弧AC=弧BC; ②弧AD=弧BD； ③AE=BE; ④AB⊥CD;⑤CD是直径. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三 .关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形. 3.圆心角、弧、弦的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 4.圆周角定理及其推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ( 2 )推论： ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C. ② 直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°. ③ 圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°. 二、标准例题： 例1：如图，⊙的半径为，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：如图：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA， ∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4， ∴ ∵在Rt△OAH中，OA=3， ∴ 故选． 总结：本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大，但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解答本题的关键. 例2：如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，连接OA，OB，BD，若∠AOB＝100°，则∠ABD ＝________度。 【答案】25° 【解析】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD， ∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=50°， ∴∠ABD=∠AOD=25°． 总结：本题考查了垂径定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 例3：已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F． 求证：CD＝AE＝BF． 【答案】见解析 【解析】连接AC、BD， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=45°， ∵C，D是的三等分点， ∴AC=CD=BD，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°， ∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD， ∴△AOC≌△COD， ∴∠ACO=∠OCD， ∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD==75°， ∴∠OEF＝∠OCD， ∴CD∥AB， ∴∠AEC＝∠OCD， ∴∠ACO＝∠AEC． 故AC＝AE， 同理，BF＝BD． 又∵AC＝CD＝BD ∴CD＝AE＝BF． 总结：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 例4：如图，是半圆的直径，为弦，为弧的中点，于点，交于点，交于点.求证：. 【答案】见解析. 【解析】∵为弧的中点， ∴∠B=∠CAF， ∵是半圆的直径， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∴. ∵是的中点， ∴. ∴， ∴. 总结：本题考查圆周角定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质. 三、练习 1.在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（ ） A．这两条弦所对的弦心距相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 C．这两条弦所对的弧相等 D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分 【答案】D 【解析】A. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误； B. 这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误； C. 这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误； D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分(垂径定理)，原说法正确，故本选项正确； 故选D. 2．如图，BD是⊙O的直径，圆周角∠A = 30°，则∠CBD的度数是（ ） A．30° B．45° C．60° D．80° 【答案】C 【解析】解：如图，连接CD， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD=90°， ∴∠D=∠A=30°， ∴∠CBD=90°-∠D=60°． 故选：C． 3．已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：如图OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3， ∴DE=OD-OE=5-3=2cm， ∴点D是圆上到AB距离为2cm的点， ∵OE=3cm＞2cm， ∴在OD上截取OH=1cm， 过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点， 则有HE⊥AB，HE=OE-OH=2cm， 即GF到AB的距离为2cm， ∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点， 故选：C． 4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】B 【解析】如图： EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴MN=CD=4， 设OF=x，则ON=OF， ∴OM=MN-ON=4-x，MF=2， 在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2， 即：（4-x）2+22=x2， 解得：x=2.5， 故选：B． 5．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝136°，则∠C的度数是（ ） A．44° B．22° C．46° D．36° 【答案】B 【解析】∵∠AOD＝136°，∴∠BOD＝44°，∴∠C＝22°，故选：B． 6．如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B. 7．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（　　） A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 【答案】D 【解析】解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x， ∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸， ∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸， 连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2， 解得x＝13， CD＝2x＝2×13＝26（寸）． 故选：D． 8．如图，是⊙上的点，则图中与相等的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵与都是所对的圆周角， ∴． 故选：D． 9．若⊙的一条弦长为24，弦心距为5，则⊙的直径长为__________． 【答案】26 【解析】解:根据题意画出相应的图形,如图所示, ∵OC⊥AB ∴AC=BC= AB=12 在 Rt△AOC中,AC=12 OC=5, , 根据勾股定理得: AO= , 则圆 O的直径长为26 . 故答案为:26 10．如图，在中，直径，弦于，若，则____ 【答案】 【解析】由圆周角定理得，∠COB=2∠A=60°， ∴CE=OC•sin∠COE=2×=， ∵AE⊥CD， ∴CD=2CE=2， 故答案为：2. 11．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则_______． 【答案】1 【解析】解：∵AB为直径， ∴， ∵， ∴． 故答案为1． 12．如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的半径是____cm. 【答案】5 【解析】解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB=8cm，CD=2cm． 连接OC，交AB于D点．连接OA． ∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切， ∴OC⊥AB． ∴AD=4cm． 设半径为Rcm，则R2=42+（R-2）2， 解得R=5， ∴该光盘的半径是5cm． 故答案为：5 13．如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____． 【答案】． 【解析】解：解：连接OA，设半径为x， 将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D， ，， ， ， ， 解得，． 故答案为：． 14．足球训练场上，教练在球门前画了一个圆圈进行无人防守的射门训练.如图，甲、乙两名运动员分别在，两处，他们争论不休，都说自己所在的位置对球门的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门的张角大？为什么？ 【答案】一样大，理由见解析. 【解析】解：甲、乙两个人所在的位置对球门AB的张角一样大.根据圆周角定理的推论可得∠ADB=∠ACB. 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC是⊙O的弦，BC交⊙O于点D，作∠BAC的外角平分线AE交⊙O于点E，连接DE．求证：DE＝AB． 【答案】见解析. 【解析】∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴， ∵AE平分∠FAC， ∴， ∴∠FAE＝∠B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵AE∥BC， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴DE＝AB． 16．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于点E，交⊙O于点F．求证：． 13