北京市西城区第十五中学2023学年高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，，若，则（ ） A． B． C． D． 2．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝(　　)． A． B． C． D．5 3．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（ ） A． B． C． D． 5．若函数在处取得极值2，则（ ） A．-3 B．3 C．-2 D．2 6．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为 A． B． C． D． 7．已知函数，，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．函数在上单调递减 D．函数的图像关于点对称 8．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知变量的几组取值如下表： 1 2 3 4 7 若与线性相关，且，则实数（ ） A． B． C． D． 10．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（ ） A． B． C． D． 11．已知复数满足（是虚数单位），则=（　　） A． B． C． D． 12．设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为F，右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________． 14．在平面直角坐标系中，点P在直线上，过点P作圆C：的一条切线，切点为T.若，则的长是______. 15．若向量与向量垂直，则______. 16．已知，为正实数，且，则的最小值为________________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是. （1）求椭圆的标准方程. （2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 18．（12分）为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图： （1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由； （2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润； （3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为，求的分布列及期望. 19．（12分）已知函数 （1）求函数的单调递增区间 （2）记函数的图象为曲线，设点是曲线上不同两点，如果在曲线上存在点，使得①；②曲线在点M处的切线平行于直线AB，则称函数存在“中值和谐切线”，当时，函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由 20．（12分）已知数列，其前项和为，若对于任意，，且，都有. （1）求证：数列是等差数列 （2）若数列满足，且等差数列的公差为，存在正整数，使得，求的最小值. 21．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为. （1）求的极值点与极值. （2）当，时，证明：. 22．（10分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由平行求出参数，再由数量积的坐标运算计算． 【题目详解】 由，得，则， ，，所以． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键． 2、C 【答案解析】 试题分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根据复数相等的充要条件，有a＝－，b＝－1 所以|a＋bi|＝，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模 3、C 【答案解析】 根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可. 【题目详解】 ∵a>0，b>0，a+b=1， ∴， 当且仅当时取“＝”号． 答案：C 【答案点睛】 本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题. 4、D 【答案解析】 由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式. 【题目详解】 由图象可得，函数的最小正周期为，. 将点代入函数的解析式得，得， ，，则，， 因此，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5、A 【答案解析】 对函数求导,可得,即可求出,进而可求出答案. 【题目详解】 因为,所以,则,解得,则. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 6、B 【答案解析】 推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率． 【题目详解】 解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个， 基本事件总数， 6和28恰好在同一组包含的基本事件个数， ∴6和28恰好在同一组的概率． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7、B 【答案解析】 根据函数，在上是单调函数，确定 ，然后一一验证， A.若，则，由，得，但.B.由，，确定，再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0. 【题目详解】 因为函数，在上是单调函数， 所以 ，即，所以 ， 若，则，又因为，即，解得， 而，故A错误. 由，不妨令 ，得 由，得 或 当时，，不合题意. 当时，，此时 所以，故B正确. 因为，函数，在上是单调递增，故C错误. ，故D错误. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题. 8、B 【答案解析】 转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解. 【题目详解】 由，可知． 设，则， 所以函数在上单调递增， 所以． 所以． 故的取值范围是． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 9、B 【答案解析】 求出，把坐标代入方程可求得． 【题目详解】 据题意，得，所以，所以． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值． 10、A 【答案解析】 根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可. 【题目详解】 因为, 所以 ， 所以， 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题. 11、A 【答案解析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【题目详解】 解：由，得， ． 故选． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 12、A 【答案解析】 由题意, 根据双曲线的对称性知在轴上，设，则由 得：， 因为到直线的距离小于，所以 ， 即，所以双曲线渐近线斜率，故选A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同． 【题目详解】 ∵，∴，解得或， 时，满足题意， 时，，方向相反，不合题意，舍去． ∴． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错． 14、 【答案解析】 作出图像，设点，根据已知可得，，且，可解出，计算即得. 【题目详解】 如图，设，圆心坐标为，可得， ，， ，，解得，， 即的长是. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，以及求平面两点间的距离，运用了数形结合的思想. 15、0 【答案解析】 直接根据向量垂直计算得到答案. 【题目详解】 向量与向量垂直，则，故. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力. 16、 【答案解析】 由，为正实数，且，可知，于是，可得 ，再利用基本不等式即可得出结果. 【题目详解】 解：，为正实数，且，可知， ， . 当且仅当时取等号. 的最小值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）； （2）证明见解析，. 【答案解析】 （1）根据离心率和的面积是得到方程组，计算得到答案. （2）先排除斜率为0时的情况，设，，联立方程组利用韦达定理得到，，根据化简得到，代入直线方程得到答案. 【题目详解】 （1）由题意可得，解得，，则椭圆的标准方程是. （2）当直线的斜率为0时，直线与直线关于轴对称，则直线与直线的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线的斜率不为0. 设，，直线的方程为 联立，整理得 则，. 因为直线与直线的斜率之和为1，所以， 所以， 将，代入上式，整理得. 所以，即，