2023学年中考数学基础题型提分讲练专题19以三角形为背景的证明与计算含解析.doc

专题19 以三角形为背景的证明与计算 考点分析 【例1】（2023年·山东中考真题）如图，已知等边，于，，为线段上一点，且，连接，BF，于，连接． （1）求证：； （2）试说明与的位置关系和数量关系． 【答案】（1）详见解析；（2），，理由详见解析． 【解析】 （1）∵是等边三角形， ，， ∵，， ∴，， ∵， ， ， ，且，， ， ， （2），.理由如下： 连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， 是等边三角形， ∵， ，且， ，. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键． 【例2】（2023年·山东中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究. （一）猜测探究 在中，，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是　 　，与的数量关系是　 　； （2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （二）拓展应用 如图3，在中，，，，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段长度的最小值． 【答案】（一）（1）结论：，．理由见解析；（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由见解析；（二）的最小值为． 【解析】 （一）（1）结论：，． 理由：如图1中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴≌（）， ∴． 故答案为，． （2）如图2中，①中结论仍然成立． 理由：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴≌（）， ∴． （二）如图3中，在上截取，连接，作于，作于． ∵， ∴， ∵，， ∴≌（）， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在，∵， ∴， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， ∴的最小值为． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题． 考点集训 1．（2023年·湖北中考真题）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】(1)见解析；（2） 【解析】 （1）证明：平分， ， 在和中，， ； （2），， ， 平分， ， 在中，． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键． 2．（2023年·浙江中考真题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F， （1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 解：（1）∵， ∴. ∵是边上的中线， ∴， ∴. （2）∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（2023年·天津）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtRt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P． （1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果） （2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1 ，且BD1⊥CE1 ； （3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果） 【答案】（1）BD1=，CE1=；（2）见解析；（3）1 + 【解析】 解：（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点， ∴AE=AD=2， ∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°）， ∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°， ; （2）证明：当α=135°时，如下图： 由旋转可知∠D1AB=E1AC=135° 又AB=AC，AD1=AE1， ∴△D1AB ≌ △E1AC ∴BD1=CE1且 ∠D1BA=E1CA 设直线BD1与AC交于点F，有∠BFA=∠CFP ∴∠CPF=∠FAB=90°， ∴BD1⊥CE1； （3）解：如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G， ∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上， 当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大， 此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则， 故∠ABP=30°， 则， 故点P到AB所在直线的距离的最大值为：． 考点：旋转变换，直角三角形，勾股定理，三角形全等，正方形的性质 4．（2023年·江西初二期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE. （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由. （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状. 【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF为等边三角形 【解析】 解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900． ∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900． ∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD． 又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE． ∴DE="AE+AD=" BD+CE． （2）成立．证明如下： ∵∠BDA =∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—．∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE． （3）△DEF为等边三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600． ∴△DEF为等边三角形． （1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE． （2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD． （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 5．（2023年·贵州中考真题）（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断． ，，之间的等量关系________； （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2），理由详见解析. 【解析】 解：（1）. 理由如下：如图①，∵是的平分线，∴ ∵，∴，∴，∴. ∵点是的中点，∴， 又∵， ∴≌（AAS），∴. ∴. 故答案为：. （2）. 理由如下：如图②，延长交的延长线于点. ∵，∴， 又∵，， ∴≌（AAS），∴， ∵是的平分线，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 6．（2023年·江苏初二期中）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC， （1）求证：△ABE≌△ACF； （2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　 　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）75． 【解析】 （1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）； （2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°， ∴∠CAF=∠BAE=30°， ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠ACD， ∴∠ADC==75°， 故答案为75． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键. 7．（2023年·江苏中考真题）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 (1)求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】(1)证明见解析；(2)78°. 【解析】 (1) (2) 【点睛】 本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键 8．（2023年·江苏中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点0； 求证：（1） （2） 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 (1)∵AB=AC， ∴∠ECB=∠DBC， 在 ， ∴ ； (2)由(1) ， ∴∠DCB=∠EBC， ∴OB=OC. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键. 9．（2023年·江苏中考真题）如图，中，，，． （1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）． 【解析】 （1）如图直线即为所求． （2）∵垂直平分线段，∴， 设，在中， ∵，∴， 解得，∴． 【点睛】 本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10．（2023年·湖北初二期中）（问题提出） 如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF 试证