北京市海淀区第二十中学2023学年高考数学三模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．的图象如图所示，，若将的图象向左平移个单位长度后所得图象与的图象重合，则可取的值的是（ ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，若，则（ ） A．8 B．12 C．14 D．10 4．的展开式中的一次项系数为（ ） A． B． C． D． 5．已知为虚数单位，实数满足，则 (　　 ) A．1 B． C． D． 6．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．的展开式中有理项有（ ） A．项 B．项 C．项 D．项 8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ） A． B． C． D． 9．已知，则p是q的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ） A． B． C． D． 11．已知定义在上的奇函数满足：（其中），且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系（用不等号连接）为（ ） A． B． C． D． 12．已知幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知命题：，，那么是__________. 14．已知（且）有最小值，且最小值不小于1，则的取值范围为__________. 15．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为_______. 16．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则.已知点D是边AB上一点，，，，，则的面积为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 18．（12分）已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵． 19．（12分）设数列，的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意，都有，，，（e是自然对数的底数）. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和. 20．（12分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 21．（12分）已知椭圆的焦距是，点是椭圆上一动点，点是椭圆上关于原点对称的两点（与不同），若直线的斜率之积为. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是抛物线上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值. 22．（10分）已知函数． （1）求函数的零点； （2）设函数的图象与函数的图象交于，两点，求证：； （3）若，且不等式对一切正实数x恒成立，求k的取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项. 【题目详解】 ∵， ， ∴函数为奇函数， ∴排除选项A，B； 又∵当时，， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题. 2、B 【答案解析】 根据图象求得函数的解析式，即可得出函数的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于的等式，即可得出结果. 【题目详解】 由图象可得，函数的最小正周期为，， ， 则，，取， ，则， ，，可得， 当时，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题. 3、C 【答案解析】 将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示. 【题目详解】 设等差数列的首项为，公差为， 则由，，得解得，， 所以．故选C． 【答案点睛】 本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式. 4、B 【答案解析】 根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论． 【题目详解】 由题意展开式中的一次项系数为． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 5、D 【答案解析】 ， 则 故选D. 6、D 【答案解析】 试题分析：，,故选D. 考点：点线面的位置关系. 7、B 【答案解析】 由二项展开式定理求出通项，求出的指数为整数时的个数，即可求解. 【题目详解】 ，， 当，，，时，为有理项，共项. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题. 8、C 【答案解析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【题目详解】 由题意可知几何体的直观图如图： 上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：， 故选：C 【答案点睛】 本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 9、B 【答案解析】 根据诱导公式化简再分析即可. 【题目详解】 因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件. 故选：B 【答案点睛】 本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题. 10、A 【答案解析】 列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果. 【题目详解】 金、木、水、火、土任取两类，共有： 金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果， 其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果， 所以2类元素相生的概率为，故选A. 【答案点睛】 本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 11、A 【答案解析】 因为，所以，即周期为４，因为为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图在（０，１）单调递增，因为，因此，选Ａ． 点睛：函数对称性代数表示 （1）函数为奇函数 ，函数为偶函数（定义域关于原点对称）； （2）函数关于点对称，函数关于直线对称， （3）函数周期为T,则 12、A 【答案解析】 根据题意求得参数，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【题目详解】 依题意，得，故， 故，，， 则. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、真命题 【答案解析】 由幂函数的单调性进行判断即可. 【题目详解】 已知命题：，，因为在上单调递增，则，所以是真命题， 故答案为：真命题 【答案点睛】 本题主要考查了判断全称命题的真假，属于基础题. 14、 【答案解析】 真数有最小值，根据已知可得的范围，求出函数的最小值，建立关于的不等量关系，求解即可. 【题目详解】 ，且（且）有最小值， ， 的取值范围为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查对数型复合函数的性质，熟练掌握基本初等函数的性质是解题关键，属于基础题. 15、 【答案解析】 根据双曲线方程，可得渐近线方程，结合题意可表示，再由双曲线a，b，c关系表示，最后结合双曲线离心率公式计算得答案. 【题目详解】 因为双曲线为，所以该双曲线的渐近线方程为. 又因为其一条渐近线经过点，即，则， 由此可得. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率，属于基础题. 16、. 【答案解析】 利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求积术”公式即可求得答案. 【题目详解】 ，所以，由余弦定理可知，得.根据“三斜求积术”可得，所以. 【答案点睛】 本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2）. 【答案解析】 （1）取的中点，连接、，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值，进而可求得其正弦值. 【题目详解】 （1）取中点，连接、、， 且，四边形为平行四边形，且， 、分别为、中点，且， 则四边形为平行四边形，且， 且，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、， ，，， 设平面的法向量为， 由，得，取，则，，， 设平面的法向量为， 由，得，取，则，，， ，， 因此，二面角的正弦值为. 【答案点睛】 本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18、． 【答案解析】 试题分析：，所以． 试题解析： B．因为， 所以． 19、（1），（2） 【答案解析】 （1）当时,,与作差可得,即可得到数列是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解；对取自然对数,则