北京市海淀区市级名校2023学年高考数学倒计时模拟卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线的焦距为，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线的右支于点，若线段的中点在圆上，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知为等腰直角三角形，，，为所在平面内一点，且，则（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，且，则等于（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．若,,,则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 5．函数的大致图象为（ ） A． B． C． D． 6．的展开式中的一次项系数为（ ） A． B． C． D． 7．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 8．已知命题，，则是（ ） A．， B．，. C．， D．，. 9．已知等差数列的公差为，前项和为，，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，若对任意的恒成立，则实数（ ）. A．6 B．5 C．4 D．3 10．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，若曲线上始终存在两点，，使得，且的中点在轴上，则正实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．己知函数，若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______. 14．已知向量，，满足，，，则的取值范围为_________. 15．展开式中的系数为_________. 16．已知等比数列满足，，则该数列的前5项的和为______________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图所示，在三棱锥中，，，，点为中点． （1）求证：平面平面； （2）若点为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18．（12分）已知函数 （1）求单调区间和极值； （2）若存在实数，使得，求证： 19．（12分）已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若函数的定义域为,求实数 的取值范围． 20．（12分）已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值. 21．（12分）已知函数，. （1）求证：在区间上有且仅有一个零点，且； （2）若当时，不等式恒成立，求证：. 22．（10分）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，、分别为、中点． （1）求证：； （2）求二面角的大小． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 设线段的中点为，判断出点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【题目详解】 设线段的中点为，由于直线的斜率是，而圆，所以.由于是线段的中点，所以，而，根据双曲线的定义可知，即，即. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 2、D 【答案解析】 以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案. 【题目详解】 如图建系，则，，， 由，易得，则. 故选：D 【答案点睛】 本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 3、D 【答案解析】 由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【题目详解】 因为，且， ， 则． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 4、D 【答案解析】 根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案. 【题目详解】 由指数函数的性质，可得，即， 又由，所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 5、A 【答案解析】 利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由判断A选项正确. 【题目详解】 ，排除掉C，D； ， ，， . 故选：A． 【答案点睛】 本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题. 6、B 【答案解析】 根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论． 【题目详解】 由题意展开式中的一次项系数为． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 7、C 【答案解析】 由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可. 【题目详解】 ，，或（舍）. ，，. 当，时； 当，时； 当，时，，所以最小值为. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题. 8、B 【答案解析】 根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【题目详解】 根据全称命题的否定为特称命题，可得， 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 9、C 【答案解析】 若对任意的恒成立，则为的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值时的n即可. 【题目详解】 由已知，，又三角形有一个内角为，所以， ，解得或（舍）， 故，当时，取得最大值，所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查等差数列前n项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题. 10、C 【答案解析】 化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由 得可判断④. 【题目详解】 由题意，，所以，故①正确； 为偶函数，故②错误；当 时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有 成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为 ，故④正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题. 11、D 【答案解析】 根据中点在轴上，设出两点的坐标，，（）.对分成三类，利用则，列方程，化简后求得，利用导数求得的值域，由此求得的取值范围. 【题目详解】 根据条件可知，两点的横坐标互为相反数，不妨设，，（），若，则，由，所以，即，方程无解；若，显然不满足；若，则，由，即，即，因为，所以函数在上递减，在上递增，故在处取得极小值也即是最小值，所以函数在上的值域为，故.故选D. 【答案点睛】 本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目. 12、A 【答案解析】 根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解. 【题目详解】 由得， 即，即， 因为，所以， 由余弦定理，所以， 由的面积公式得 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 首先判断出函数为定义在上的奇函数，且在定义域上单调递增，由此不等式对任意的恒成立，可转化为在上恒成立，进而建立不等式组，解出即可得到答案． 【题目详解】 解：函数的定义域为，且， 函数为奇函数， 当时，函数，显然此时函数为增函数， 函数为定义在上的增函数， 不等式即为， 在上恒成立， ，解得． 故答案为． 【答案点睛】 本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目． 14、 【答案解析】 设，，，，由，，，根据平面向量模的几何意义，可得A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，为的距离，利用数形结合求解. 【题目详解】 设，，，， 如图所示： 因为，，， 所以A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆， 则即的距离， 由图可知，. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查平面向量的模及运算的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题. 15、 【答案解析】 变换，根据二项式定理计算得到答案. 【题目详解】 的展开式的通项为：，， 取和，计算得到系数为：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 16、31 【答案解析】 设，可化为，得，，， 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）答案见解析．（2） 【答案解析】 （1）通过证明平面，证得，证得，由此证得平面，进而证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【题目详解】 （1）因为，所以平面， 因为平面，所以． 因为，点为中点，所以． 因为，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量，则即 取，则，，所以， 设平面的一个法向量，则即 取，则，，所以， 设平面与平面所成锐二面角为， 则． 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 【答案点睛】 本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18、（1）时，函数单调递增，，函数单调递减，；（2）见解析 【答案解析】 （1）求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值； （2）易得且，要证明，即证，即证，即对恒成立，构造函数 ，，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证； 【题目详解】 解：（1）因为定义域为， 所以， 时，，即在和上单调递增，当时，，即函数在单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值； ，； （2）易得， 要证明，即证，即证 即证对恒成立， 令，， 则 令，解得，即在上单调递增； 令，解得，即在上单调递减； 则在取得极小值，也就是最小值， 从而结论得证. 【答案点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 19、 (1) (2) 【答案解析】 （1）分类讨论，去掉绝对