内蒙古自治区包头市2023学年高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，，若，则的值为( ) A．1 B．－1 C．8l D．－81 2．在中，，，，为的外心，若，，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则集合子集的个数为（ ） A． B． C． D． 4．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ） A． B．1 C． D．2 5．函数（）的图像可以是（ ） A． B． C． D． 6．已知复数满足，则（ ） A． B．2 C．4 D．3 7．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ） A． B． C． D． 9．若，则“”的一个充分不必要条件是 A． B． C．且 D．或 10．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 11．已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则( ) A．，b为任意非零实数 B．，a为任意非零实数 C．a、b均为任意实数 D．不存在满足条件的实数a，b 12．已知点(m,8)在幂函数的图象上，设，则（ ） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为 . 14．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________． 15．如图梯形为直角梯形，，图中阴影部分为曲线与直线围成的平面图形，向直角梯形内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________ 16．已知，，求____________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点. (Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积; (Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由. 18．（12分）已知奇函数的定义域为，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）记函数，若函数有3个零点，求实数的取值范围. 19．（12分）已知函数（），是的导数. （1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点； （2）已知函数在上单调递减，求的取值范围. 20．（12分）已知函数. （1）若对任意x0，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），证明：. 21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点． （Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由； （Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角． 22．（10分）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）. （Ⅰ）证明：平面平面垂直； （Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据二项式系数的性质，可求得，再通过赋值求得以及结果即可. 【题目详解】 因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等， 故可得， 令，故可得， 又因为， 令，则， 解得 令，则. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题. 2、B 【答案解析】 首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值. 【题目详解】 如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，， 过分别做，的平行线，， 由题知， 则外接圆半径， 因为，所以， 又因为，所以，， 由题可知， 所以，， 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题. 3、B 【答案解析】 首先求出，再根据含有个元素的集合有个子集，计算可得. 【题目详解】 解：，， ， 子集的个数为. 故选：. 【答案点睛】 考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 4、D 【答案解析】 如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示建立直角坐标系，则，，，设， 则 . 当，即时等号成立. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 5、B 【答案解析】 根据，可排除，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果. 【题目详解】 由题可知：， 所以当时，， 又， 令，则 令，则 所以函数在单调递减 在单调递增， 故选：B 【答案点睛】 本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题. 6、A 【答案解析】 由复数除法求出，再由模的定义计算出模． 【题目详解】 ． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 7、C 【答案解析】 模拟程序的运行即可求出答案． 【题目详解】 解：模拟程序的运行，可得： p＝1， S＝1，输出S的值为1， 满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7， 满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31， 满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127， 满足条件p≤7，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511， 此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束， 故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5， 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查程序框图，属于基础题． 8、C 【答案解析】 由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案. 【题目详解】 解：由题意知：，，设，则 在中，列勾股方程得：，解得 所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为 故选C. 【答案点睛】 本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题. 9、C 【答案解析】 ， ∴，当且仅当 时取等号. 故“且 ”是“”的充分不必要条件.选C． 10、D 【答案解析】 首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积. 【题目详解】 如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心， 当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上， 、分别为、的中点，则必有， ，即为直角三角形. 对于等腰梯形，如图： 因为是等边三角形，、、分别为、、的中点， 必有， 所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图 ，， 所以四棱锥底面的高为， . 故选：D. 【答案点睛】 本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目. 11、A 【答案解析】 求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数. 【题目详解】 依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有 ，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数. 故选：A 【答案点睛】 本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题． 12、B 【答案解析】 先利用幂函数的定义求出m的值，得到幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，再利用幂函数f（x）的单调性，即可得到a，b，c的大小关系. 【题目详解】 由幂函数的定义可知，m﹣1＝1，∴m＝2， ∴点（2，8）在幂函数f（x）＝xn上， ∴2n＝8，∴n＝3， ∴幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增， ∵，1＜lnπ＜3，n＝3， ∴， ∴a＜b＜c， 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、. 【答案解析】 . 14、 【答案解析】 分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到在上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得，构造放缩函数对自变量再研究，可解, 【题目详解】 令；当时，，不合题意； 当时，， 令，得或， 所以在区间和上单调递减. 因为，且在区间上单调递增， 所以在处取极小值，即最小值为. 若，，则，即. 当时，，当时，则. 设，则. 当时，；当时，， 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以，即，所以的最大值为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查不等式恒成立问题. 不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法; 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解． 15、 【答案解析】 联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出，最后根据几何概型的概率公式计算可得； 【题目详解】 解：联立解得或，即，，，， ， 故答案为： 【答案点睛】 本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题. 16、 【答案解析】 求出向量的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果. 【题目详解】 ，，， 因此，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.