内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁第一中学2023学年高考数学三模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知实数满足约束条件，则的最小值是 A． B． C．1 D．4 2．公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下-个米时，乌龟先他米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（ ）． A． B． C．或 D．或 4．　　 A． B． C． D． 5．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（ ） A．[0，） B．（﹣∞，0）∪[，+∞） C．（0，） D．（﹣∞，0]∪[，+∞） 6．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ） A． B． C． D． 7．设实数满足条件则的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．函数的图象大致为( ) A． B． C． D． 9．已知的值域为，当正数a，b满足时，则的最小值为（ ） A． B．5 C． D．9 10．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 12．过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知数列的首项，函数在上有唯一零点，则数列|的前项和__________. 14．在正方体中，已知点在直线上运动，则下列四个命题中：①三棱锥的体积不变；②；③当为中点时，二面角 的余弦值为；④若正方体的棱长为2，则的最小值为；其中说法正确的是____________（写出所有说法正确的编号） 15．正方形的边长为2，圆内切于正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______. 16．设随机变量服从正态分布,若，则的值是______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由. 设正数等比数列的前项和为，是等差数列，__________，，，，是否存在正整数，使得成立？ 18．（12分）某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：），得到下面的频数表： 亮灯时长/ 频数 10 20 40 20 10 以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长. （1）试估计的值； （2）设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目. ①求的数学期望和方差； ②若随机变量满足，则认为.假设当时，灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）. 附： ①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商； ②若，则，，. 19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线经过点．曲线的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）过点作直线的垂线交曲线于两点(在轴上方)，求的值. 20．（12分）已知函数． （1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集； （2）已知，若，使得成立，求实数的取值范围． 21．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值. 22．（10分）曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； （2）过原点且倾斜角为的射线与曲线分别交于两点（异于原点），求的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 设，则，易知当直线经过点时，z取得最小值， 由，解得，所以，所以，故选B． 2、D 【答案解析】 根据题意，是一个等比数列模型，设，由，解得，再求和. 【题目详解】 根据题意，这是一个等比数列模型，设， 所以， 解得， 所以 . 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题. 3、D 【答案解析】 先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可. 【题目详解】 构造函数， 则 由题可知，所以在时为增函数； 由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数； 又，即 即 又为开口向上的偶函数 所以，解得或 故选：D 【答案点睛】 此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 4、A 【答案解析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【题目详解】 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 5、D 【答案解析】 求函数的值域得集合，求定义域得集合，根据交集和补集的定义写出运算结果. 【题目详解】 集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）； B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，）， ∴A∩B＝（0，）， ∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）. 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目. 6、D 【答案解析】 由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解. 【题目详解】 由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为, 所以所求概率, 故选:D 【答案点睛】 本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题. 7、C 【答案解析】 画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【题目详解】 如图所示：画出可行域和目标函数， ，即，表示直线在轴的截距加上1， 根据图像知，当时，且时，有最大值为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 8、A 【答案解析】 确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项． 【题目详解】 时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项． 9、A 【答案解析】 利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值. 【题目详解】 解：∵的值域为, ∴, ∴, ∴ , 当且仅当时取等号, ∴的最小值为. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题. 10、B 【答案解析】 根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值. 【题目详解】 由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 表示复数对应的点与点间的距离， 又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1， 所以. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题. 11、C 【答案解析】 由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解. 【题目详解】 ，， 由于，则，同理可知，， 函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增， ，则，，则， 构造函数，其中，则. 当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减. 所以，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度. 12、C 【答案解析】 设抛物线的解析式，得焦点为，对称轴为轴，准线为，这样可设点坐标为，代入抛物线方程可求得，而到直线的距离为，从而可求得三角形面积． 【题目详解】 设抛物线的解析式， 则焦点为，对称轴为轴，准线为， ∵　直线经过抛物线的焦点，，是与的交点， 又轴，∴可设点坐标为， 代入，解得， 又∵点在准线上，设过点的的垂线与交于点，， ∴. 故应选C. 【答案点睛】 本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出点坐标，从而求得参数的值．本题难度一般． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由函数为偶函数，可得唯一零点为，代入可得数列的递推关系式，再进行配凑转换为等比数列，最后运用分部求和可得答案. 【题目详解】 因为为偶函数，在上有唯一零点， 所以，∴，∴， ∴为首项为2，公比为2的等比数列.所以，. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性和函数的零点,同时也考查了由递推关系式求数列的通项,考查了数列的分部求和，属于中档题. 14、①②④ 【答案解析】 ①∵，∴平面 ，得出上任意一点到平面的距离相等，所以判断命题①； ②由已知得出点P在面上的射影在上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②； ③当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判断命题③； ④过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，根据对称性和两点之间线段最短，可求得当点在点时，在一条直线上，取得最小值.可判断命题④. 【题目详解】 ①∵，∴平面 ，所以上任意一点到平面的距离相等，所以三棱锥的体积不变，所以①正确； ②在直线上运动时，点P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正确； ③当为中点时，