2023年简析数列通项公式的几种常用求解方法.doc

简析数列通项公式的几种常用求解方法 :求数列的通项公式是高中数学教学的重点,是学生学习的难点,也是高考考查的热点。 　　关键词:数列;求解;方法 　　　　求数列的通项公式是高中数学教学的重点,是学生学习的难点,也是高考考查的热点。关于数列通项公式的题目多种多样,但是万变不离其宗,求解数列通项公式的常见题型有以下九种: 一． 观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： 〔1〕9，99，999，9999，… 〔2〕 〔3〕 〔4〕 解：〔1〕变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为： 〔2〕 〔3〕 〔4〕. 观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。 二、定义法 例2： 数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，假设函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)， (1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2， ∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d， ∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2， ∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2， ∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1 当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 三、      叠加法 例3：数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 解 易知 ∵ …… 各式相加得∴ 一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，那么宜采用此方法求解。 四、叠乘法 例4：在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。 解：由(n+1)·=n·得， =··…= 所以 一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。 五、公式法 假设数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解。 例5：以下两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。 〔1〕。 〔2〕 解： 〔1〕 ===3 此时，。∴=3为所求数列的通项公式。 〔2〕，当时 由于不适合于此等式 。 ∴ 注意要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 例6. 设数列的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系 求证：数列是等比数列。 解析：因为 所以 所以，数列是等比数列。 六、阶差法 例7.数列的前项和与的关系是 ，其中b是与n无关的常数，且。 求出用n和b表示的an的关系式。 解析：首先由公式：得： 利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即 其和为。 七、待定系数法 例8：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，假设c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn 解：设 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，假设数列为等差数列：那么，〔b、ｃ为常数〕，假设数列为等比数列，那么，。 八、 辅助数列法 有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。 例9.在数列中，，，，求。 解析：在两边减去，得 ∴ 是以为首项，以为公比的等比数列， ∴，由累加法得 = =…== = 例10.〔2023年全国高考题〕设为常数，且〔〕， 证明：对任意n≥1， 证明：设， 用代入可得 ∴ 是公比为，首项为的等比数列， ∴ 〔〕， 即： 型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等. (1)f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。 例11：数的递推关系为，且求通项。 解：∵ ∴ 令 那么辅助数列是公比为2的等比数列 ∴即 ∴ 例12： 数列｛｝中且〔〕，，求数列的通项公式。 解：∵ ∴ ， 设，那么 故｛｝是以为首项，1为公差的等差数列 ∴ ∴ 例13.〔07全国卷Ⅱ理21〕设数列的首项． 〔1〕求的通项公式； 解：〔1〕由 整理得 ． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成 那么{}成等比数列，实际上，这里的是特征方程x=px+q的根。 (2) f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得，令bn=，可转化为bn+1=pbn+q的形式。 例14.数列{an}中，a1=， an+1=an+〔〕n+1，求an的通项公式。 解：an+1=an+〔〕n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1=(2nan)+1 令bn=2nan 那么 bn+1=bn+1 易得 bn= 即 2nan= ∴ an= (3) f(n)为等差数列 例15.数列{an}中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通项公式。 解：∵ an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2 因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), ∴ an=。 注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。 (4) f(n)为非等差数列，非等比数列 例16.〔07天津卷理〕在数列中，，其中． 〔Ⅰ〕求数列的通项公式； 解：由，， 可得， 所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为． 这种方法类似于换元法, 主要用于递推关系式求通项公式。 九、归纳、猜测 如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜测出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。 例17.〔2023年北京春季高考〕点的序列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，… （1） 写出与之间的关系式〔〕。 （2） 设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。 （3） 略 解析：〔1〕∵ 是线段的中点， ∴ 〔2〕， =， =， 猜测，下面用数学归纳法证明 当n=1时，显然成立； 假设n=k时命题成立，即 那么n=k+1时，= = ∴ 当n=k+1时命题也成立，∴ 命题对任意都成立。 例18：在数列｛｝中，，那么的表达式为 。 分析：因为，所以得：， 猜测：。 十、倒数法 数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出 例19．设数列满足求 解：原条件变形为两边同乘以得. ∵ ∴ 综而言之，等差、等比数列是两类最根本的数列，是数列局部的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活〞往往集中在“转化〞的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项根本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.