2023学年中考数学压轴题冲刺提升专题03折叠与落点有迹性含解析.docx

专题03 折叠与落点有迹性 【例题】（2023年·河师大附中模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=8，点P是射线BC上一动点，连接AP，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B’落在线段BC的垂直平分线上时，则BP的长等于 【答案】10或. 【解析】解：点B’的运动轨迹是以点A为圆心以AB的长为半径的圆，圆与BC的垂直平分线的交点即为所求的落点B’， 如图作出图形， 分两种情况计算： ①连接BB’，过B’作B’E⊥BC于E，如下图所示， 由题意知，BB’=B’C，BP=B’P，BE=EC=4，BB’⊥AP， ∴∠B’BC=∠B’CB，∠B’BC+∠APB=90°，∠B’CB+∠CB’E=90°， ∴∠APB=∠CB’E，∴△CB’E∽△APB，∴,即， 设BP=x，则B’P=x，EP=4－x，B’E=x， 在Rt△B’PE中，由勾股定理得：，解得：x=10（舍）或x=， 即BP=； ②过A作AH⊥MN于H，如图所示， ∵AB=AB’=5，AH=4，GH=5, ∴B’H=3，B’G=8， 设BP=x，则B’P=x，PG=x－4， 在Rt△PGB’中，由勾股定理得：， 解得：x=10，即BP=10; 综上所述，答案为：10或. 【变式】（2023年·偃师一模）如图，在边长为 3 的等边三角形ABC中，点D为AC上一点，CD=1，点E为边AB 上不与A，B重合的一个动点，连接DE，以DE为对称轴折叠△AED，点 A 的对应点为点 F，当点 F 落在等边三角形ABC的边上时，AE 的长为 ． 【答案】1或5－. 【解析】解：第一步：确定落点，点F在以D为圆心，以线段AD的长为半径的弧上，如下图所示， 第二步，根据落点确定折痕（对称轴） （1）∵AD=DF=2，∠A=60°，∴△ADF是等边三角形， ∵DE平分∠ADF， ∴AE=EF=1； （2）如下图所示， 由对称知，∠EFD=∠A=60°，∴∠EFB+∠DFC=120°， ∵∠DFC+∠FDC=120°，∴∠EFB=∠FDC， ∵∠B=∠C=60°， ∴△BEF∽△CFD， ∴, 设AE=x，则BE=3－x， 即, ∴BF=，CF=， ∵BF+CF=3， 即+=3， 解得：x=5+（舍）或x=5－， 综上所述，答案为：1或5－. 1.（2023年·洛阳二模）如图，P 是边长为 3 的等边△ABC 的边 AB 上一动点，沿过点 P 的直线折叠∠B，使点 B 落在 AC 上，对应点为 D，折痕交 BC 于点 E，点 D 是 AC 的一个三等分点，PB 的长为 ． 【答案】1或5－. 【解析】解：第一步确定落点，AC的三等分点有两个，所以有两种情况；第二步根据落点确定折痕，方法：作BD的垂直平分线即为折痕所在的直线； （1）如下图所示， 由折叠性质得：∠B=∠EDP=60°， ∴∠CDE+∠ADP=120°， ∵∠A=∠C=60°，∴∠ADP+∠APD=120°， ∴∠APD=∠CDE， ∴△CED∽△ADP， ∴， 设BP=DP=x，则AP=3－x， ∴， ∴CE=，DE=， ∵DE=BE， ∴CE+DE=CE+BE=3， 即+=3， 解得：x=； （2）如下图所示，当CD=1时， 同理可得： ∴， 设BP=DP=x，则AP=3－x， ∴， ∴CE=，DE=， ∴+=3， 解得：x=； 综上所述，PB的长为或. 2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=6，E．F分别是线段AD，BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为 ． 【答案】4或4﹣2． 【解析】解：如图1所示： 由翻折的性质可知PF=CF=4， ∵ABFE为正方形，边长为2， ∴AF=2． ∴PA=4﹣2． 如图2所示： 由翻折的性质可知PF=FC=4． ∵ABFE为正方形， ∴BE为AF的垂直平分线． ∴AP=PF=4． 故答案为：4或4﹣2． 3.（2023年·信阳一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为　 　． 【答案】4或4． 【解析】解：第一步，确定落点，以E为圆心，AE的长为半径画弧，与BC的垂直平分线的交点即为A’， 第二步，作出折痕，求解. (1) 如下图所示， 由折叠性质知：A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°， AM=AD=3， 过E作EH⊥MN于H，则四边形AEHM是矩形， ∴MH=AE=2， 由勾股定理得：A′H=， ∴A′M=， 由MF2+A′M2=A′F2， 得（3﹣AF）2+（）2=AF2， 解得：AF=2， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF=4； （2）如下图所示， 可得：A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°， 过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，则四边形AGHD是矩形， ∴DH=AG，HG=AD=6，A′H=A′G=3， 在Rt△A’EG中，由勾股定理得：EG=， ∴DH=AG=AE+EG=3， 在Rt△A’HF中，由勾股定理得：A′F=6， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF=4； 故答案为：4或4． 4.（2023年·三门峡二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为 ． 【答案】，． 【解析】解：由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE， ∵点B、C′、D′在同一直线上， ∴∠BC′E＝90°， ∵BC＝12，BE＝2CE， ∴BE＝8，C′E＝CE＝4， 在Rt△BC′E中，∠C′BE＝30°， ①当点C′在B、D’之间时，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形， ∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8， ∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°， ∴∠BEC′＝60°， 由折叠的性质得，∠C′EF＝′CEF， ∴∠C′EF＝∠CEF＝60°， ∵AD∥BC ∴∠HFE＝∠CEF＝60°， ∴△EFH是等边三角形， ∴在Rt△EFG中，EG＝6，GF＝2， ∴AF═8+2； ②当点D′在B、C’之间时，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H， 同理可得：AF＝8﹣2， 故答案为：或． 5.（2023年·南阳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为 ． 【答案】15或. 【解析】解：第一步：确定落点，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交射线CD于B’， 分两种情况讨论； 第二步，根据落点作出折痕，求解； （1）如下图所示， 由折叠知：AB′＝AB＝5，B′E＝BE， ∴CE＝3﹣BE， ∵AD＝3， ∴DB′＝4，B′C＝1， 由勾股定理知：B′E2＝CE2+B′C2， ∴BE2＝（3﹣BE）2+12， ∴BE＝； （2）如下图所示，AB′＝AB＝5， ∵CD∥AB， ∴∠1＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∵AE垂直平分BB′， ∴AB＝BF＝5， ∴CF＝4， ∵CF∥AB， ∴△CEF∽△ABE， ∴， 即， ∴CE＝12， ∴BE＝15， 故答案为：或15． 6.（2023年·开封模拟）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边上，则BN的长为 cm． 【答案】或. 【解析】解：∵N不与A重合， ∴B落点不会在BC上， 分两种情况讨论： （1）当B关于直线MN的对称点B'落在AB边上时， 此时，MN⊥AB，即∠BNM=90°， ∵△ABC是等边三角形，AB＝2，M是BC中点， ∴∠B=60°，BM=, ∴BN=BM=； （2）当点B关于直线MN的对称点B'落在边AC上时， 则MN⊥BB′，可得：四边形BMB′N是菱形， ∴BN＝BM＝BC＝， 故答案为：或． 7.（2023年·开封二模）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为　 　． 【答案】或. 【解析】解：矩形对角线有两条，AC、BD，所以先以D为圆心以AD的长为半径作弧，与对角线AC、BD的交点即为A’点；再作出AA’的垂直平分线即为折痕； （1）点A落在矩形对角线BD上时， 由AB＝4，BC＝3，得：BD＝5， 根据折叠的性质，AD＝A′D＝3，AP＝A′P，∠A＝∠PA′D＝90°， ∴BA′＝2， 设AP＝x，则BP＝4﹣x， 由勾股定理得：BP2＝BA′2+PA′2， （4﹣x）2＝x2+22，解得：x＝， ∴AP＝； ②点A落在矩形对角线AC上， 根据折叠的性质可知：DP⊥AC， 易证：∠ACB=∠APD， ∴tan∠ACB= tan∠APD， ∴AP＝ =． 故答案为：或. 8.（2023年·枫杨外国语三模）如图，在▱ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ． 【答案】或. 【解析】解：第一步确定落点，因为BC的三等分点有两个，所以分两种情况讨论， 第二步，确定落点后，画出折痕EF，求解. (1)如下图所示 过点A’作A’H⊥AB交AB的延长线于H， 则∠A’BH=60°， ∵A’B=2， ∴BH=1，A’H=, 设AE=A’E=x，则BE=8－x，EH=9－x， 在Rt△A’EH中，由勾股定理得： ，解得：x=， 即AE=; （2）如下图所示， 过点A’作A’H⊥AB交AB的延长线于H， 则∠A’BH=60°， ∵A’B=4， ∴BH=2，A’H=2, 设AE=A’E=x，则BE=8－x，EH=10－x， 在Rt△A’EH中，由勾股定理得： ，解得：x=5.6， 即AE=5.6; 综上所述，答案为：或5.6. 9.（2023年·中原名校大联考）如图，边长为1的正方形ABCD，点P为边AD上一动点（不与点A重合）．连接BP，将△ABP沿直线BP折叠，点A落在点A′处，如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线上，则AP的长为 ． 【答案】. 【解析】解：由题意知，A’落在对角线BD上，连接A'D， 则B、A’、D在同一直线上， ∴∠A＝∠PA'B＝∠PA'D＝90°，AP＝A'P，AB＝A'B=1， ∴BD＝， ∴DA'＝BD﹣BA'＝BD﹣AB＝﹣1， 由正方形性质知，∠PDA’=∠A’PD=45°， ∴AP=A’P=A’D=﹣1， 故答案为：﹣1． 10.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为　 　． 【答案】(10