云南省永仁县一中2023学年高考全国统考预测密卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 2．计算等于( ) A． B． C． D． 3．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（ ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 4．已知奇函数是上的减函数，若满足不等式组，则的最小值为（ ） A．-4 B．-2 C．0 D．4 5．设全集为R，集合，，则 A． B． C． D． 6．公比为2的等比数列中存在两项，，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．复数（　　） A． B． C．0 D． 8．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ） A． B． C． D． 9．从抛物线上一点 (点在轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（ ） A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不确定 11．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 12．若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________. 14．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________. 15．集合，，则_____. 16．已知椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于，若三角形的面积等于，则该椭圆的离心率为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立. （1）求的解析式； （2）若方程有两个实根，且，求证：. 18．（12分）已知在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，为的中点，连接，为的中点，连接. （1）求证：. （2）求二面角的余弦值. 19．（12分）已知椭圆的焦点在轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形． （1）求椭圆的方程； （2）设，过椭圆右焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值. 20．（12分）设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若. （1）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （2）是否存在常数，满足？并说明理由. 21．（12分）在四棱柱中，底面为正方形，，平面． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 22．（10分）已知函数． (Ⅰ)求函数的极值； (Ⅱ)若,且,求证：． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值. 【题目详解】 由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形， 设中点为，连接，，可知，， 同时易知，， 所以面，故即为与面所成角， 有， 故. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题. 2、A 【答案解析】 利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【题目详解】 原式. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题. 3、A 【答案解析】 求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解. 【题目详解】 ， 若，， 在单调递增，且， 在不存在零点； 若，， 在内有且只有一个零点， . 故选:A. 【答案点睛】 本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题. 4、B 【答案解析】 根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【题目详解】 奇函数是上的减函数，则，且，画出可行域和目标函数， ，即，表示直线与轴截距的相反数， 根据平移得到：当直线过点，即时，有最小值为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键. 5、B 【答案解析】 分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：， 结合交集的定义可得：. 本题选择B选项. 点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6、D 【答案解析】 根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解. 【题目详解】 ， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 最小值为. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题. 7、C 【答案解析】略 8、B 【答案解析】 根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【题目详解】 正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为，故选B. 【答案点睛】 本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 9、A 【答案解析】 根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标，进而求出点的坐标，代入斜率公式即可求解. 【题目详解】 设点的坐标为， 由题意知，焦点,准线方程， 所以，解得， 把点代入抛物线方程可得， ，因为，所以， 所以点坐标为， 代入斜率公式可得，. 故选：A 【答案点睛】 本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题. 10、A 【答案解析】 利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可 【题目详解】 据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，所以. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题 11、D 【答案解析】 集合．为自然数集，由此能求出结果． 【题目详解】 解：集合．为自然数集， 在A中，，正确； 在B中，，正确； 在C中，，正确； 在D中，不是的子集，故D错误． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12、C 【答案解析】 求得双曲线的渐近线方程，可得圆心到渐近线的距离，由点到直线的距离公式可得的范围，再由离心率公式计算即可得到所求范围． 【题目详解】 双曲线的一条渐近线为，即， 由题意知，直线与圆相切或相离，则， 解得，因此，双曲线的离心率. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解. 【题目详解】 由双曲线C：（，， 可得一条渐近线，一个顶点， 所以，解得， 则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 14、 【答案解析】 利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标. 【题目详解】 由已知，，，，设内切圆的圆心为，半径为，则 ，故有， 解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为 . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题. 15、 【答案解析】 分析出集合A为奇数构成的集合，即可求得交集. 【题目详解】 因为表示为奇数，故. 故答案为： 【答案点睛】 此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题. 16、 【答案解析】 由题得直线的方程为，代入椭圆方程得：， 设点，则有，由 ，且解出，进而求解出离心率. 【题目详解】 由题知，直线的方程为，代入消得： ， 设点，则有， ， 而，又， 解得：，所以离心率. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）证明见解析. 【答案解析】 （1）根据题意，在上单调递减，求导得，分类讨论的单调性，结合题意，得出的解析式； （2）由为方程的两个实根，得出，，两式相减，分别算出和，利用换元法令和构造函数，根据导数研究单调性，求出，即可证出结论. 【题目详解】 （1）根据题意，对任意两个不等的正实数，都有恒成立. 则在上单调递减， 因为， 当时，在内单调递减.， 当时，由，有， 此时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上，，所以. （2）由为方程的两个实根， 得， 两式相减，可得， 因此， 令，由，得， 则， 构造函数. 则， 所以函数在上单调递增， 故， 即， 可知， 故，命题得证. 【答案点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能力和计算能力. 18、（1）见解析；（2） 【答案解析】 （1）连接，证明，得到面，得到证明. （2）以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，为平面的法向量，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案. 【题目详解】 （1）连接，在四边形中，，平面， 面，，，面， 又面，， 又在直角三角形中，，为的中点，，，面，面，. （2）以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，，， 设为平面的法向量，，，，，令，则，，， 同理可得平面的一个法向量为. 设向量与的所成的角为，， 由图形知，二面角为锐二面角，所以余弦值为. 【答案点睛】 本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19、（1） （2） 【答案解析】 （1）由已知条件列出关于和的方程，并计算出和的值，jike 得到椭圆的方程. （2）设出点和点坐标