2023学年中考数学必考考点专题32尺规作图含解析.docx

专题32 尺规作图问题 专题知识回顾 1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。 2.尺规作图的五种基本情况： （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作已知线段的垂直平分线； （4）作已知角的角平分线； （5）过一点作已知直线的垂线。 3.对尺规作图题解法： 写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。 4.中考要求： （1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线. （2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形. （3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆. （4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）. 专题典型题考法及解析 【例题1】（2023年•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　　） A．20° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【解析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案． 在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， 由作图可知MN为AB的中垂线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°。 【例题2】（2023年山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°， （1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数． 【答案】见解析。 【解析】（1）分别以A.B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可。 如图所示，直线EF即为所求； （2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C． ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°， ∴∠C＝∠A＝30°， ∵EF垂直平分线段AB， ∴AF＝FB， ∴∠A＝∠FBA＝30°， ∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°． 【例题3】(2023年年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　） A．（SAS） B． （SSS） C． （ASA） D． （AAS） 【答案】B 【解析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得． 作图的步骤： ①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； ②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′； ④过点D′作射线O′B′． 所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角； 作图完毕． 在△OCD与△O′C′D′， ， ∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠A′O′B′=∠AOB， 显然运用的判定方法是SSS． 【例题4】（2023年•山东青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：∠α，直线l及l上两点A，B． 求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α． 【答案】见解析。 【解析】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点． 如图，△ABC为所作． 专题典型训练题 一、选择题 1.（2023年•广西北部湾）如图, 在△ABC中，AC=BC, ∠A=400 ，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（　　） A． 400 B． 450 C．500 D．600 【答案】C 【解析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数． 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质． 由作法得CG⊥AB， ∵AB=AC， ∴CG平分∠ACB，∠A=∠B， ∵∠ACB=180°-40°-40°=100°， ∴∠BCG=∠ACB=50°． 2.（2023年·贵州贵阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】D． 【解析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算CE的长． 由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°， AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3， 在Rt△ACE中，CE＝＝． 3.（2023年•河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心． 4．（2023年•山东潍坊）如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD． ②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE． ③连接OE交CD于点M． 下列结论中错误的是（　　） A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MD C．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD•OE 【答案】C． 【解析】利用基本作图得出角平分线的作图，进而解答即可． 由作图步骤可得：OE是∠AOB的角平分线， ∴∠CEO＝∠DEO，CM＝MD，S四边形OCED＝CD•OE， 但不能得出∠OCD＝∠ECD 5．(2023年•湖北宜昌)通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点． 作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知，选项A符合条件，故选A． 6.（经典题）作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 【答案】见解析。 【解析】作法： ① 作射线AP； ② 在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。 7.（经典题）已知三边作三角形。 已知：如图，线段a，b，c. 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 【答案】见解析。 【解析】作法： ① 作线段AB = c； ② 以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心 a为半径作弧与前弧相交于C； ③ 连接AC，BC。 则△ABC就是所求作的三角形。 8.（经典题）已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m，n, ∠. 求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n. 【答案】见解析。 【解析】作法： ① 作∠A=∠； ② 在AB上截取AB=m ,AC=n； ③ 连接BC。 则△ABC就是所求作的三角形。 9.（经典题）做已知线段的中点 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 【答案】见解析。 【解析】作法：① 分别以M、N为圆心，大于1/2MN的相同 线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； ② 连接PQ交MN于O． 则点O就是所求作的ＭＮ的中点。 10.（经典题）作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 【答案】见解析。 【解析】作法： ① 以O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA，OB于M，N； ② 分别以M、Ｎ为圆心，大于1/2MN　　 　的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； ③ 作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。 11.（经典题）已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠，∠，线段m . 求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m. 【答案】见解析。 【解析】作法： ① 作线段AB=m； ② 在AB的同旁作∠A=∠，作∠B=∠， ∠A与∠B的另一边相交于C。 则△ABC就是所求作的图形（三角形）。 12.（2023年•河北模拟题）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（　　） 　A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使PA+PC=BC，必有PA=PB，所以选项中只有作AB的中垂线才能满足这个条件，故D正确 D选项中作的是AB的中垂线， ∴PA=PB， ∵PB+PC=BC， ∴PA+PC=BC 13.（2023年•丽水模拟题）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B 【解析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形。 ∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D， ∴AC=AD=BD=BC， ∴四边形ADBC一定是菱形。 14.(2023年•湖南益阳)已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形． 如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B． 二、填空题 15．（2023年武汉）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的