2023学年中考数学压轴题冲刺提升专题04图形规律探索题含解析.docx

专题04图形规律探索题 【例1】（2023年·河师大附中模考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2017A2023年，则点A2017的坐标为 【答案】（0，21008）. 【解析】解：由题意知：A1(0,1)，A2(1,1)，OA2=A2A3=，OA3=2， ∴A3(2,0), 同理，A4(2,－2)，A5(0,－4)，A6(－4,－4)，A7(－8,0)，A8(－8,8)，A9(0,16)…… 每隔8个点恰好处于同一坐标系或象限内，2017÷8=252……1， 即点A2017在y轴正半轴上，横坐标为0， 各点纵坐标的绝对值为：20,20,21,21,22,22,23,23，…… 2017÷2=1008……1， 可得点A2017的纵坐标为：21008， 故答案为（0，21008）. 【变式1-1】（2023年·济源一模）如图，在一个单位为 1 的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2023年的横坐标为（ ） A．-1008 B．2 C．1 D．1011 【答案】A. 【解析】解： 观察图形可知，奇数点在x轴上，偶数点在象限内， 所以A2023年在x轴上， A1，A5，A9，A13……，A4n－3在x正半轴，4n－3=2023年，n=505.5，所以A2023年不在x正半轴上； A3（0,0），A7（－2,0），A11（－4,0），A15（－8,0）……， 3=4×0+3，7=4×1+3，11=4×2+3，15=4×3+3，……，2023年=4×504+3， ∴－2×504=－1008， 即A2023年的坐标为（－1008，0）， 故答案为：A. 【变式1-2】（2023年·洛阳三模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1，称为一次旋转，依此方式，……，绕点 O 连续旋转 2 019 次得到正方形 OA2 019B2 019C2 019，如果点 A 的坐标为(1，0)，那么点B2 019 的坐标为 . 【答案】（－,0）. 【解析】由旋转及正方形性质可得： B(1,1),B1(0, )，B2(－1, 1)，B3(－,0)，B4(－1, －1)，B5(0, －)，B6(1, －1)，B7(, 0)，B8(1, 1)，…… ∴360÷45=8， 2023年÷8=252……3， ∴点B2023年落在x轴负半轴上， 即B2023年(－,0)， 故答案为：（－,0）. 【例2】如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0），B（0，4），则点B2016的横坐标为（ ） A．5 B．12 C．10070 D．10080 【答案】D． 【解析】解：由图象可知点B2016在第一象限， ∵OA=，OB=4，∠AOB=90°， 在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB=， 可得：B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），… ∴点B2016横坐标为10080． 故答案为：D． 【变式2-1】（2023年·开封二模）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ） A．33 B．301 C．386 D．571 【答案】C． 【解析】解：由图形知： 第n个三角形数为1+2+3+…+n＝， 第n个正方形数为n2， 当n＝19时，＝190＜200， 当n＝20时，＝210＞200， 所以最大的三角形数：m＝190； 当n＝14时，n2＝196＜200， 当n＝15时，n2＝225＞200， 所以最大的正方形数：n＝196， 则m+n＝386， 所以答案为：C． 1.如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为　 　． 【答案】． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴AB=BC=1，∠ACB=∠CAB=30°， ∴AC=AB=， 同理可得：AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，…… 第n个菱形的边长为：， 故答案为：． 2.如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A的坐标为（2，0），过点A作AA1⊥OB，垂足为点A1，过A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4…；这样一直作下去，则A2017的横坐标为（　　） A． •（）2015 B． •（）2016 C． •（）2017 D． •（）2023年 【答案】B． 【解析】解：∵∠AOB=30°，点A坐标为（2，0）， ∴OA=2， ∴OA1=OA=，OA2=OA1=2×，OA3=OA2=2×…， ∴OAn=（）nOA=2（）n．∴OA2023年=2×（）2023年=•（）2016 故答案为：B． 3.（2023年·安阳一模）如图，函数的图象记为C1，它与x轴交于点O和点A1，将C1绕点A1选择180°得C2，交x轴于点A2……，如此进行下去，若点P(103，m)在图象上，则m的值是（ ） A. -2 B. 2 C. -3 D. 4 【答案】A． 【解析】解：由图可知：横坐标每间隔8个单位，函数值相同，即函数图象重复周期为8，103÷8=12……5，当x=5时，y=－2，即m=－2， 故答案为：A. 4.（2023年·郑州二模）如图，弹性小球从点 P(0，1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形DABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为 P1(-2，0)，第 2 次碰到正方形的边时的点为 P2，……，第 n 次碰到正方形的边时的点为 Pn，则点 P2 019 的坐标是（ ） A．(0，1) B．(-4，1) C．(-2，0) D．(0，3) 【答案】D． 【解析】解：根据图象可得：P1(-2,0)，P2(-4,1)，P3(0,3)，P4(-2,4)，P5(-4,0)，P6(0,1)，P7（－2,0）…… 2023年÷6=336……3， 即P2023年（0,3）， 故答案为：D. 5.（2023年·偃师一模）如图，在坐标系中放置一菱形 OABC，已知∠ABC=60°，点 B 在 y 轴上，OA=1，先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转2023年次，点 B 的落点依次为 B1，B2，B3，…，则 B2 019 的坐标为（ ） A. (1010,0) B.(1310.5, ) C. (1345, ) D. (1346,0) 【答案】D. 【解析】解：连接AC，如图所示． ∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC． ∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形． ∴AC=AB．∴AC=OA． ∵OA=1， ∴AC=1． 由图可知：每翻转6次，图形向右平移4． ∵2023年=336×6+3， ∴点B3向右平移1344（即336×4）到点B2023年． ∵B3的坐标为（2，0）， ∴B2023年的坐标为（1346，0）， 故答案为：D． 6.（2023年·新乡一模）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，…，则△2023年的直角顶点的坐标为（　　） A．（8076，0） B．（8064，0） C．（8076， ） D．（8064， ） 【答案】A． 【解析】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4）， 由勾股定理得：AB＝5， 由图可知，三个三角形为一个循环，经历一次循环前进的水平距离为：12， 2023年÷3＝673，直角顶点在x轴上， 673×12＝8076， ∴△2023年的直角顶点的坐标为（8076，0）． 故答案为：A． 7.（2023年·西华县一模）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为　 　． 【答案】（21008，21009）． 【解析】解：由图可知：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…， ∵2017=504×4+1， ∴点A2017在第一象限， ∵2017=1008×2+1， ∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）． ∴A2017的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）． 故答案为：（21008，21009）． 8.（2023年·郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2023年次得到正方形OA2023年B2023年C2023年，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2023年的坐标为（　　） A．（1，1） B．（0，） C．（，0） D．（﹣1，1） 【答案】D． 【解析】解：∵四边形OABC是正方形，OA＝1， ∴B（1，1）， 连接OB，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB＝， 由旋转性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝， ∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），…， 360÷45=8，每8次一循环，2023年÷8＝252……2， ∴点B2023年的坐标为（﹣1，1）. 故答案为：D． 9.（2023年·安阳二模）将直角三角形纸板OAB按如图所示方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，OB＝4，OA＝2 ．将三角形纸板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2023年秒时，点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣） B．（3，﹣） C．（﹣3，） D．（0，2 ） 【答案】A． 【解析】解：360÷60=6， 即每6秒一循环， 2023年÷6=336……3， 即2023年秒时， 点A与其对应点A′关于原点O对称， ∵OA＝4，∠AOB＝30°， 可得：A(3, )， ∴第2023年秒时，点A的对应点A′的坐标为(－3, －)， 故答案为：A. 10.正方形ABCD的位置在坐标中如图所示，点A、D的坐标反别为（1，0）、（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2017个正方形的面积为