GeoGebra环境下基于...双曲线及其标准方程教学研究_于茹子.pdf

31 技术创新五个思维水平分别为：层次0视觉，学生能根据外观辨智能时代的教育教学变革需要信息技术与教学活动的深识图形，在心理上把图形表示成直观图像；层次1分析，学度融合，借助GeoGebra动态几何软件的优势，以“双曲线及生能确定图形的性质，辨别图形的特征；层次2非形式化的标准方程”为例，经过范希尔理论的学前诊断、引导定向、演绎，学生能提出非形式化的推论，形成抽象的定义；层次阐明、自由定向、整合五个教学阶段，帮助学生发现几何规3形式化的演绎，学生能通过形式化的推理，建立定理；层律，理解几何本质，提高几何思维水平。次4严密性，学生形成了更高的思维水平，能在不同的公理系统下建立定理并分析其特性。新版普通高中课程标准（2017版）对教育信息化提出五个教学阶段分别为：阶段1学前咨询，课前教师通过说明：“信息技术是学生学习与教师教学的重要辅助手段，为师生交流、生生交流、人机交流搭建了平台，为学习和教学提双向交谈的方式了解学情，帮助学生理解所要学习的内容；供了丰富的资源。因此，教师应重视信息技术的运用，优化课阶段2引导定向，教师帮助学生安排活动顺序，这个过程中学1堂教学，转变教学与学习的方式。”美国国家人工智能研发生逐渐确定学习的方向；阶段3阐明，通过前面的活动经验战略规划中也提到要利用人工智能技术改进教育机会，实施和教师的提示，学生能够明确表达自己的看法；阶段4自由2定向，学生在解决复杂问题的过程中获得经验，确定自己学习个性化学习和终身学习等。在宏观政策要求下，智能时代教育教学的变革需求使信息领域的方向；阶段5整合，学生将所学到的方法内化到自己3的思维结构中去，形成一个新的思维领域。技术与教学活动的深度融合迫在眉睫。然而GeoGebra作为一个本文主要针对“双曲线定义及其标准方程”这一部分内多功能动态几何软件，具有数学化、视觉化、动态化呈现数学4容，依据范希尔理论设计更符合学生几何认知发展的课程，结对象与思维的功能，同时它能够做到几何图形与代数方程的同5合动态几何软件的优势，通过折纸实验与双曲线定义的推导，步变化，帮助学生发现几何规律，理解几何本质。现已被世界发展学生的几何思维，有效改善传统的几何教学。各国广泛应用在数学课堂教学中，它丰富了课堂活动，拓展了2 GeoGebra动态几何软件学生思维，改变了教学现状。GeoGebra是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授范希尔理论不仅能够评估学生的几何思维发展现状，还可Markus Hohenwarter所设计的，这是一款结合几何、代数与微积以设计教学阶段进而提高学生的几何思维水平。范希尔认为，68学生几何思维的发展具有先后顺序，设计教学需要依据“顺序分的免费、多平台的动态数学教育软件。GeoGebra最大优势就性”原则，遵循学生的认知结构。基于此，本文以“双曲线及是其能够动态展示数学对象的生成过程，帮助学生在“变化”其标准方程”为例，借助范希尔理论对几何教学进行思考，并中找到“不变”的几何规律。其次就是它能够做到“数”与结合GeoGebra，旨在促进技术在数学教学中的改革。“形”的同步变化，通过构建“数”与“形”之间的联系通91 范希尔理论道，帮助学生跨越知识符号，建立内在的逻辑和意义。而数形20世纪50年代，范希尔夫妇在日常教学中发现几何教学存结合思想是数学学习中的重要思想，华罗庚曾有诗云：“数与在的问题，并受皮亚杰认知发展阶段论的启发，提出了几何思形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数7维的五个水平与对应的五个教学阶段。笔者梳理了范希尔理论时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。切莫忘几何代10并做出结构示意图，如图1所示。数统一体，永远联系，切莫分离”。充分说明了数形结合的重要性，这也是GeoGebra软件的优越性所在。11GeoGebra软件有其独特的功能与特点，图2为笔者整理的结构模型，可以帮助读者加深对GeoGebra的了解。本文通过运用GeoGebra软件对“双曲线及其标准方程”这一部分内容进行教学设计重构，希望弥补传统解析几何教学的图1 范希尔理论示意图局限性，培养学生对于解析几何的兴趣，促进学生的直观思维GeoGebra环境下基于范希尔理论的双曲线及其标准方程教学研究辽宁师范大学数学学院 于茹子 吴 华3220年 第 1 期23向抽象思维过渡，提升课堂教学的实效性。高于生活。阶段2：引导定向直观想象，双曲线定义的猜想探究1：双曲线的定义。师：在前面“椭圆的几何性质”学习中已经知道，在半径为r的圆F 内取一定点F，折叠纸片使圆周上的某一点A刚好与点12F 重合，折痕为L。连接AF 交L于点M，点M的运动轨迹就是椭21圆，如图3所示。问题1：如果将上述问题中的条件“在圆内取一定点F”改2图2 GeoGebra结构模型图为“在圆外取一定点F”，那么点M的运动轨迹又会是什么呢？23 基于范希尔理论的“双曲线及其标准方程”教学设计3.1 教学内容分析双曲线是高中数学人教B版选修2-1第二章“圆锥曲线与方12程2.3”的内容，一般安排三个课时，本节课是第一课时。它是继学习椭圆之后的又一种圆锥曲线，也是我们高中解析几何部分的重要内容之一。接下来依据范希尔理论并且融入GeoGebra，对“双曲线及其标准方程”进行了几何思维水平的划分，如表1所示。图3 图4师：通过自己的动手实践，大家发现点M的运动轨迹是什么了吗？生：双曲线。师：由于折纸无法取遍圆上所有的点，所以老师借助GeoGebra软件动态展示双曲线生成的全过程。表1“双曲线及其标准方程”的几何思维水平划分图53.2 GeoGebra环境下依据范希尔理论的双曲线教学设计师：大家通过观察圆片折叠形成双曲线的过程，能够发现阶段1：学前咨询复习引入，初识双曲线各线段间存在什么关系吗？师：通过上节课的学习，对于椭圆你掌握了什么吗？生：点A与点F 通过折叠重合，并形成了折痕L，所以折痕L 2生：利用拉线作图掌握了椭圆的定义，利用逻辑推理获得为线段AF 的垂直平分线。点M是折痕L 与半径AF 延长线的交21了椭圆的标准方程，在推导标准方程过程中明确了建系的方点，根据轴对称的性质，MA=MF。2法。师：大家对于椭圆有了一定的了解，这节课我们继续探索另一种圆锥曲线双曲线，请看大屏幕。图6师：在现实生活中，我们经常可以抽象出双曲线的形状，问题2：动点M到两定点F、F 会形成什么关系式？12通过知网检索也可以发现，双曲线在许多我们熟知的领域都有师：前面的学习中已经知道“平面内一动点到两定点距离应用，双曲线究竟有什么魅力以至于它有如此广泛的存在与应之和是定值的点的轨迹是椭圆”，大家能否观察图形，抽象出用呢，今天我们就来探寻一下双曲线的形成吧！双曲线的定义呢？设计意图：这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的学生：平面内一动点到两定点距离之差是定值的点的轨迹是前咨询阶段。教师通过与学生的双向交谈，了解学生关于圆双曲线。锥曲线的认知结构。教师通过PPT引入生活中的双曲线，使学师：你是怎么抽象出来的？生通过几何的直观感知、初识几何体，明确数学来源于生活并生：因为直线L是线段AF的垂直平分线，所以 ，233 技术创新故 ，=r，且r为圆的半径。点间的距离叫做双曲线的焦距。师：这样就得出了“动点M到两定点F、F 的距离之差是定设计意图：这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的阐12明阶段。教师通过语言和技术的引导，向学生阐明双曲线定值”的结论。义的内容和限定条件，使定义更加完整化、系统化。学生则问题3：MF 与MF 之间需要满足什么关系式呢？21根据前面的经验与教师的提示，推导出双曲线的定义。通过生：因为三角形两边之差小于第三边，所以GeoGebra的直观演示，将抽象的数学概念用直观图形来显示，13师：这是交点M在圆内的情形，如果交点M在圆外呢，上述进而提高课堂教学的实效性。得到的关系式还能否适用？阶段4：自由定向数学建模，双曲线定义的深化探究2：双曲线的标准方程。问题1：回顾圆锥曲线的发展历史，第一定义较原始定义有什么优点？生：有了这个定义，方便我们写出双曲线的方程。师：用方程研究双曲线的性质，这是解析几何学研究问题的手段。问题2：回顾一下研究曲线方程的步骤是什么？生：第一步是建系。图7师：双曲线应该怎么建系合理呢？问题4：生：以F F 的中点为原点建立直角坐标系。12生：，且师：坐标系建好后，我们设点就方便多了，大家可以把M、F、F 的坐标点表示出来吗？设计意图：这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的引12生：。导定向阶段。教师运用GeoGebra动态生成双曲线的形成过师：如何根据这几个点的坐标列式呢？程，通过构造动点，观察“数”与“形”的同步变化，为猜想生：根据两点间的距离公式，可以列出方程式双曲线定义提供技术支持。教师通过问题链的形式，一步步 =2a。引导学生思维的深入。基于此阶段的教学设计，学生通过自（由于时间原因，推导过程作为练习题在课前留给学生，主探究、分析、推理，最终获得双曲线的关系式，达到提升学自己探索解决办法，教师挑出具有代表性的方法课上交流讨生几何思维水平的目的。论。）阶段3：阐明逻辑推理，双曲线定义的获得生：。问题5：双曲线的定义是什么？师：怎样让方程变得更简洁？师：通过上述得到的关系式，能否总结其共性，给双曲线生：令 。下一个定义？师：这样就得到了双曲线焦点在x轴上的标准方程为 生：双曲线左支的数学关系式为 ，右支的关系式为 ，将两个式子整合后得：(a0,b0)。师：焦点在y轴上的标准方程需要大家自己动手完成。师：既然点A与点F 的距离是定值，F 与F 的距离也是定生：应该是 (a0,b0)。112设计意图：这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的自值，我们不妨将用2a这个常数代替，将用2c代替，由定向阶段。这个阶段学生能用演绎推理的方式得到双曲线请一位同学用文字语言将这个数学式子表达出来。的标准方程，通过对双曲线定义的应用，最终达到对于双曲线生：将平面内与两定点F、F 距12定义的全面把握。整个教学过程，师生共同参与，建构知识离之差的绝对值是常数2a的点的轨迹结构，完成方程的推导。叫双曲线。阶段5：整合数学运算，双曲线定义的内化问题6：这样表述完整吗？2a需例题1：已知 ，动点P到F、F 的距离之要给出限制条件吗？（通过GeoGebra12差的绝对值为6，求P点的轨迹方程。分别演示三种情况：当2a=例题2：根据下列条件，求双曲线的标准方程。时；当2a大于 时；当2a小（1）过点P 且焦点在坐标轴上；于 时，学生通过观察图形的变（2）C=，经过点 ，焦点在x上；化并得出结论）（3）与双曲线 /4=1有相同焦点，且经过点生：当2a=2c时，M点的轨迹是射线；当2a大于2c时，M点 。的轨迹不存在；当2a小于2c时，M点的轨迹是双曲线。故要给例题3：已知双曲线 /16=1的右焦点分别为F、F，2a一个限制条件，只有当 轨迹才是双曲线。12师：这样我们就得出了双曲线的完整定义：把平面内与两点P在双曲线上的左支上，求。个定点F、F 的距离的差的绝对值等于常数2a（）的点设计意图：这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的整12合阶段。这个阶段学生对双曲线的定义的理解进入内化阶的轨迹叫做双曲线。其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定图83420年 第 1 期23段，能用双曲线的知识解决问题，同时进一步体会了数形结合(03):12-14.5 吴华,何晓頔.范希尔理论下动态几何技术应用于祖暅原理思想。学生通过各种习题的练习，深化对于双曲线定义及标的教学研究J.辽宁教育,2013(01):40-41.准方程的理解，最终达到知识的迁移与灵活应用。6 UsiskinZ.VanHie Levels and Achievement in Secondary 4 结束语School GeometryM.Chicago:Unversity ofChiago,1982本文以范希尔理论与GeoGebra动态几何软件的结合为支7 鲍建生,周超.数学学习的心理基础与过程M.上海:上海点，充分发挥范希尔理论的理论指导和动态软件的技术优势，教育出版社,2009从生活