吉林省乾安县七中2023学年高考数学五模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于( ) A． B． C． D． 2．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．中，，为的中点，，，则（ ） A． B． C． D．2 4．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线. 给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于；④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 5．设函数，若函数有三个零点，则（　　） A．12 B．11 C．6 D．3 6．已知边长为4的菱形，，为的中点，为平面内一点，若，则（ ） A．16 B．14 C．12 D．8 7．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ） A．甲的数据分析素养高于乙 B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C．乙的六大素养中逻辑推理最差 D．乙的六大素养整体平均水平优于甲 8．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：） A．1624 B．1024 C．1198 D．1560 10．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D．6 11．已知随机变量服从正态分布，，（ ） A． B． C． D． 12．已知当，，时，，则以下判断正确的是 A． B． C． D．与的大小关系不确定 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______． 14．已知复数,其中是虚数单位．若的实部与虚部相等,则实数的值为__________． 15．设函数，则满足的的取值范围为________. 16．已知，满足，则的展开式中的系数为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若函数有两个极值点，，且，为的导函数，设，求的取值范围，并求取到最小值时所对应的的值. 18．（12分）已知六面体如图所示，平面，，，，，，是棱上的点，且满足. （1）求证：直线平面； （2）求二面角的正弦值. 19．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数． （1）当时，求函数的极值； （2）设函数的导函数为，求证：函数有且仅有一个零点． 20．（12分）如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的坐标. 22．（10分）已知函数，且． （1）若，求的最小值，并求此时的值； （2）若，求证:． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案. 【题目详解】 如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为 因为点在角的终边上，所以 依题有,则， 所以， 故选：A 【答案点睛】 本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题. 2、A 【答案解析】 解一元二次不等式化简集合的表示，求解函数的定义域化简集合的表示，根据可以得到集合、之间的关系，结合数轴进行求解即可. 【题目详解】 ，. 因为，所以有，因此有. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力. 3、D 【答案解析】 在中，由正弦定理得；进而得，在中，由余弦定理可得. 【题目详解】 在中，由正弦定理得，得，又，所以为锐角，所以，， 在中，由余弦定理可得， . 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力. 4、B 【答案解析】 利用基本不等式得，可判断②；和联立解得可判断①③；由图可判断④. 【题目详解】 ， 解得（当且仅当时取等号），则②正确； 将和联立，解得， 即圆与曲线C相切于点，，，， 则①和③都错误；由，得④正确. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题. 5、B 【答案解析】 画出函数的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果． 【题目详解】 作出函数的图象如图所示， 令， 由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个）， 所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根）， 由，可得的值分别为， 则 故选B． 【答案点睛】 本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型. 6、B 【答案解析】 取中点，可确定；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得，利用可求得结果. 【题目详解】 取中点，连接， ，，即. ，， ， 则. 故选：. 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解. 7、D 【答案解析】 根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项. 【题目详解】 对于A选项，甲的数据分析分，乙的数据分析分，甲低于乙，故A选项错误. 对于B选项，甲的建模素养分，乙的建模素养分，甲低于乙，故B选项错误. 对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理分，不是最差，故C选项错误. 对于D选项，甲的总得分分，乙的总得分分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D选项正确. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题. 8、B 【答案解析】 对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【题目详解】 当时，函数在上单调递减， 所以，的递增区间是， 所以，即. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 9、B 【答案解析】 根据高阶等差数列的定义，求得等差数列的通项公式和前项和，利用累加法求得数列的通项公式，进而求得. 【题目详解】 依题意 ：1，4，8，14，23，36，54，…… 两两作差得 ：3，4，6，9，13，18，…… 两两作差得 ：1，2，3，4，5，…… 设该数列为，令，设的前项和为，又令，设的前项和为. 易，，进而得，所以，则，所以，所以. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10、C 【答案解析】 由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解. 【题目详解】 设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为， 则，，设 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得： ， 则 当且仅当时，取等号. 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 11、B 【答案解析】 利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果. 【题目详解】 ，所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题. 12、C 【答案解析】 由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果． 【题目详解】 解：设， 则， 即为增函数， 又，，，， 即， 所以， 所以． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果. 【题目详解】 因为，所以， 因为是等比数列，所以数列的公比为1． 又， 所以当时，有． 这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以， 故答案为：. 【答案点睛】 该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目. 14、 【答案解析】 直接由复数代数形式的乘法运算化简,结合已知条件即可求出实数的值. 【题目详解】 解：的实部与虚部相等, 所以,计算得出. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查复数的乘法运算和复数的概念,属于基础题. 15、 【答案解析】 当时，函数单调递增，当时，函数为常数，故需满足，且，解得答案. 【题目详解】 ，当时，函数单调递增，当时，函数为常数， 需满足，且，解得. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 16、1 【答案解析】 根据二项式定理求出，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得系数． 【题目详解】 由题意，． ∴的展开式中的系数为． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）的取值范围是；对应的的值为. 【答案解析】 （1）当时，求的导数可得函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，且，利用导函数，可得的范围，再表达，构造新函数可求的取值范围，从而可求取到最小值时所对应的的值． 【题目详解】 （1）函数 由条件得函数的定义域：， 当时，， 所以：， 时，， 当时，，当，时，， 则函数的单调增区间为：，单调递减区间为：，； （2）由条件得：，， 由条件得有两根：，，满足， △，可