2023学年中考数学基础题型提分讲练专题18二次函数函数综合题含解析.doc

专题18 二次函数综合题 考点分析 【例1】（2023年·辽宁中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）存在．点D的坐标为（，3）或（，）；（3）G（，）． 【解析】 解：（1）在中，令，得，令，得， ，， 将，分别代入抛物线中，得：，解得：， 抛物线的函数表达式为：． （2）存在．如图1，过点作于，设，则，，； ，，，， 和相似， 或 ①当时，， ，即： ，解得：（舍去），（舍去），， ， ②当时， ， ，即： ，解得：（舍，（舍，， ，； 综上所述，点的坐标为，或，； （3）如图3，四边形是平行四边形 ， 设，，，， 则：，， ，即：， ，即： 过点作于，则 ，即： ，即： 周长 ， 当时，周长最大值， ，． 【点睛】 此题考查二次函数综合题，综合难度较大，解答关键在于结合函数图形进行计算，再利用待定系数法求解析式，配合辅助线利用相似三角形的性质进行解答. 【例2】（2023年·山东中考模拟）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是． (1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标． (2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由． (3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？ 【答案】（1）直线y=x+4，点B的坐标为（8，16）；（2）点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18． 【解析】 （1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2， ,A点的坐标为（-2，1）， 设直线的函数关系式为y=kx+b， 将（0，4），（-2，1）代入得 解得 ∴y＝x＋4 ∵直线与抛物线相交， 解得：x=-2或x=8， 当x=8时，y=16， ∴点B的坐标为（8，16）； （2）存在． ∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝=325 .设点C(m，0)， 同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5， BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320， ①若∠BAC＝90°，则AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－； ②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6； ③若∠ABC＝90°，则AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32， ∴点C的坐标为(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)　 （3）设M(a，a2)， 则MN＝， 又∵点P与点M纵坐标相同， ∴x＋4＝a2， ∴x= ， ∴点P的横坐标为， ∴MP＝a－， ∴MN＋3PM＝a2＋1＋3(a－)＝－a2＋3a＋9＝－ (a－6)2＋18， ∵－2≤6≤8， ∴当a＝6时，取最大值18， ∴当M的横坐标为6时，MN＋3PM的长度的最大值是18 考点集训 1．（2023年·湖南中考真题）已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形； (3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标； (4)若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，顶点；(2)证明见解析；(3)点；(4)存在，的最小值为． 【解析】 (1)函数的表达式为：， 即：，解得：， 故抛物线的表达式为：， 则顶点； (2)，， ∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1， ∴AB=2， ∴， 又∵D(2，-1)， ∴AD=BD=， ∴AM=MB=AD=BD， ∴四边形ADBM为菱形， 又∵， 菱形ADBM为正方形； (3)设直线BC的解析式为y=mx+n， 将点B、C的坐标代入得：， 解得：， 所以直线BC的表达式为：y=-x+3， 过点P作y轴的平行线交BC于点N， 设点，则点N， 则， ，故有最大值，此时， 故点； (4)存在，理由： 如图，过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F，过点A作，垂足为H，交y轴于点Q， 此时， 则最小值， 在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=， ∴OF=， ∴F(-，0)， 利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：…①， ∵∠COF=90°，∠FOC=30°， ∴∠CFO=90°-30°=60°， ∵∠AHF=90°， ∴∠FAH=90°-60°=30°， ∴OQ=AO•tan∠FAQ=， ∴Q(0,)， 利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：…②， 联立①②并解得：， 故点，而点， 则， 即的最小值为． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，解直角三角形的应用，正方形的判定，最值问题等，综合性较强，有一定的难度，正确把握相关知识，会添加常用辅助线是解题的关键. 2．（2023年·辽宁中考模拟）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】 （1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D， 由对称性得：D（3，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3）， 把A（0，3）代入得：3=3a， a=1， ∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3； （2）如图2，设P（m，m2-4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°， ∴∠AOE=45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE=OA=3， ∴E（3，3）， 易得OE的解析式为：y=x， 过P作PG∥y轴，交OE于点G， ∴G（m，m）， ∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3， ∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE， =×3×3+PG•AE， =+×3×（-m2+5m-3）， =-m2+m， =（m-）2+， ∵-＜0， ∴当m=时，S有最大值是； （3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N， ∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN， ∵P（m，m2-4m+3）， 则-m2+4m-3=2-m， 解得：m=或， ∴P的坐标为（，）或（，）； 如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM， 则-m2+4m-3=m-2， 解得：x=或； P的坐标为（，）或（，）； 综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题． 3．（2023年·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点P是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为，（2）或．（3）当时，面积的最大值是，此时P点坐标为． 【解析】 解：（1）∵抛物线经过、两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵直线经过、两点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， （2）∵， ∴抛物线的顶点C的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ①如图，若点M在x轴下方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ②如图，若点M在x轴上方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 综合可得M点的坐标为或． （3）如图，作轴交直线于点G， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值是，此时P点坐标为． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题． 4．（2023年·内蒙古中考真题）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式． （2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）存在，理由见解析；点或或或． 【解析】 解：（1）二次函数表达式为：， 将点的坐标代入上式并解得：， 故抛物线的表达式为：…①， 则点， 将点的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：； （2）存在，理由： 二次函数对称轴为：，则点， 过点作轴的平行线交于点， 设点，点， ∵， 则， 解得：或5（舍去5）， 故点； （3）设点、点，， ①当是平行四边形的一条边时， 点向左平移4个单位向下平移16个单位得到， 同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点， 即：，，而， 解得：或﹣4， 故点或； ②当是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：，，而， 解得：， 故点或； 综上，点或或或． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 5．（2023年·青海中考真题）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,． （1）求抛物线的解