北京市海淀区中国人民大学附属中学2023学年高考数学全真模拟密押卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为的等边三角形,若球的表面积为,则直线与平面所成角的正切值为(　　) A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（ ） A．5 B． C． D．-5 3．函数的大致图象为 A． B． C． D． 4．不等式的解集记为，有下面四个命题：；；；.其中的真命题是（ ） A． B． C． D． 5．展开项中的常数项为 A．1 B．11 C．-19 D．51 6．已知实数，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 7．在中，D为的中点，E为上靠近点B的三等分点，且，相交于点P，则（ ） A． B． C． D． 8．函数的部分图象如图所示，已知，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 9．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） （附：） A．个 B．个 C．个 D．个 10．给出个数 ，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( ) A．； B．； C．； D．； 11．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ） （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，） A． B． C． D． 12．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段中点的纵坐标为__________． 14．三个小朋友之间送礼物，约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为______. 15．集合，，则_____. 16．若，则________，________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（2，），半径为1的圆． （1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （2）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围． 18．（12分）已知为各项均为整数的等差数列，为的前项和，若为和的等比中项，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求最大的正整数，使得. 19．（12分）已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点. （Ⅰ）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （Ⅱ）若直线过点，点满足（，分别为直线，的斜率），求的值. 20．（12分）如图1，在边长为4的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 21．（12分）如图所示，四棱柱中，底面为梯形，，，，，，. （1）求证：； （2）若平面平面，求二面角的余弦值. 22．（10分）已知曲线的参数方程为 为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹； （2）若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 设为中点,先证明平面，得出为所求角,利用勾股定理计算,得出结论． 【题目详解】 设分别是的中点 平面 是等边三角形 又 平面 为与平面所成的角 是边长为的等边三角形 ，且为所在截面圆的圆心 球的表面积为 球的半径 平面 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题． 2、C 【答案解析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【题目详解】 由（1+i）z＝|3+4i|， 得z， ∴z的虚部为． 故选C． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3、A 【答案解析】 因为，所以函数是偶函数，排除B、D， 又，排除C，故选A． 4、A 【答案解析】 作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果. 【题目详解】 作出可行域如图所示，当时，，即的取值范围为，所以为真命题； 为真命题；为假命题. 故选：A 【答案点睛】 此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题. 5、B 【答案解析】 展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况. 【题目详解】 展开式中的项为常数项，有3种情况： （1）5个括号都出1，即； （2）两个括号出，两个括号出，一个括号出1，即； （3）一个括号出，一个括号出，三个括号出1，即； 所以展开项中的常数项为，故选B. 【答案点睛】 本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的. 6、B 【答案解析】 根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出． 【题目详解】 解：∵， ∴，，． ∴． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7、B 【答案解析】 设，则，， 由B，P，D三点共线，C，P，E三点共线,可知，,解得即可得出结果. 【题目详解】 设，则，， 因为B，P，D三点共线，C，P，E三点共线， 所以，，所以，. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题. 8、A 【答案解析】 由图根据三角函数图像的对称性可得，利用周期公式可得，再根据图像过，即可求出，再利用三角函数的平移变换即可求解. 【题目详解】 由图像可知，即， 所以，解得， 又， 所以，由， 所以或， 又， 所以，， 所以，， 即， 因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到， 所以. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题. 9、C 【答案解析】 计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm，得到不等式，计算得到答案. 【题目详解】 由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体， 易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球， 则最上层球面上的点距离桶底最远为cm， 若想要盖上盖子，则需要满足，解得， 所以最多可以装层球，即最多可以装个球． 故选： 【答案点睛】 本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 10、A 【答案解析】 要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②. 【题目详解】 因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故本题选A. 【答案点睛】 本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键. 11、C 【答案解析】 由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：，解出即可得出． 【题目详解】 由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为 据题意得：， 解得2n＝12， ∴n21． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12、C 【答案解析】 利用先求出，然后计算出结果. 【题目详解】 根据题意，当时，,, 故当时，, 数列是等比数列, 则，故, 解得, 故选. 【答案点睛】 本题主要考查了等比数列前项和的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、2 【答案解析】 运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果. 【题目详解】 抛物线的标准方程为：，则抛物线的准线方程为，设，，则，所以，则线段中点的纵坐标为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用，本题较为基础. 14、 【答案解析】 基本事件总数，三人都收到礼物包含的基本事件个数．由此能求出三人都收到礼物的概率． 【题目详解】 三个小朋友之间准备送礼物， 约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同）， 基本事件总数， 三人都收到礼物包含的基本事件个数． 则三人都收到礼物的概率． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题. 15、 【答案解析】 分析出集合A为奇数构成的集合，即可求得交集. 【题目详解】 因为表示为奇数，故. 故答案为： 【答案点睛】 此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题. 16、 【答案解析】 根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案. 【题目详解】 ，故. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于简单题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）C1：y2＝1，C2 ：x2+（y﹣2）2＝1；（2）[0，1] 【答案解析】 （Ⅰ）消去参数φ可得C1的直角坐标方程，易得曲线C2的圆心的直角坐标为（0，2），可得C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设M（3cosφ，sinφ），由三角函数和二次函数可得|MC2|的取值范围，结合圆的知识可得答案． 【题目详解】 （1）消去参数φ可得C1 的普通方程为y2＝1， ∵曲线C2 是圆心为（2，），半径为1 的圆，曲线C2 的圆心的直角坐标为（0，2）， ∴C2 的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝1； （2）设M（3cosφ，sinφ），则|MC2| ， ∵﹣1≤sinφ≤1，∴1≤|MC2|，