2023年哈高三数学理期末试题及答案.docx

哈尔滨市第六中学2023-2023学年度上学期期末考试 高三理科数学 考试时间：120分钟 总分值：150分 一、选择题：每题5分，共12小题 1.集合,那么（ ） A. B. C. D. 2.复数，那么以下说法正确的选项是（ ） A．的虚部为 B. 的共轭复数为 C． D. 在复平面内对应的点在第二象限 3.以下命题中正确命题的个数是（ ） （1）是的充分必要条件 （2）那么最小正周期是 （3）假设将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后， 那么样本的方差不变 （4）设随机变量服从正态分布,假设，那么 侧视图 4.正视图 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长 都是，该几何体的体积为 ( ) 俯视图 A． B. C. D. 5.函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 否 开始 结束 输出 是 6．执行如图程序框图其输出结果是 （ ） A． B．　　　　　 C．　　　　　　 D． 7.变量满足条件，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 8．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，现在从中任选人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多项选择人，不同的选取法的种数为 ( ) A. B. C. D. 9.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，那么此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ） A. B. C. D. 10.假设抛物线的焦点为，其准线经过双曲线的左焦点，点为这两条曲线的一个交点，且，那么双曲线的离心率为（ ） A． B. C. D. 11.在平行四边形中，, ,假设将其沿折成直二面角,那么三棱锥的外接球的外表积为（ ） A． B. C. D. 12.函数，在区间上任取三个数均存在以，，为边长的三角形，那么的取值范围是（ ） A． B. C. D. 二、填空题：每题5分，共20分 13.在的展开式中，所有项的系数和为，那么的系数等于 14. 为等腰直角三角形，,为斜边的高，点在射线上，那么的最小值为 15.椭圆的左焦点为，分别为其三个顶点. 直线与交于点，假设椭圆的离心率，那么= 16. 在中，内角的对边分别为，且，那么的面积最大值为 三、解答题：共70分 17.数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式; (2)假设,,且数列的前项和为,求的取值范围. 18.为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示： 优秀 非优秀 总计 男生 40 20 60 女生 20 30 50 总计 60 50 110 （Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； （Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，假设随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望. 附:＝ 19.为等腰直角三角形，，，、分别是边和的中点，现将沿折起，使面面，、分别是边和的中点，平面与、分别交于、两点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值； 20.椭圆的左，右顶点分别为，圆上有一动点,点在轴的上方，，直线交椭圆于点，连接. (1)假设,求△的面积; (2)设直线的斜率存在且分别为,假设, 求的取值范围. 21.设函数 (1)当时，求函数的最大值； (2)令，（） 其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围； (3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值． 选作题：考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，那么按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.（本小题总分值10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，点在⊙直径的延长线上，切⊙于点，是的平分线，交于点，交于点． （Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）假设，求． 23．（本小题总分值10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，假设以该直角 坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为: （其中为常数）. （Ⅰ）假设曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围； （Ⅱ）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离． 24.（本小题总分值10分）选修4—5：不等式选讲 实数满足，且. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）证明：. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C A B B D B A C C D 13.-270 14. 15. 16. 17.(1)当时,,解得 当时,……① ……② ②-①得 即 数列是以2为首项,2为公比的等比数列 (2) = 18. (I) 有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关. (II)的可能取值为0,1,2,3 X 0 1 2 3 P 19. (Ⅰ)因为、分别是边和的中点，所以，因为平面，平面， 所以平面因为平面，平面，平面平 面所以又因为，所以. (Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得， ，，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为，那么，，令，解得，，那么设平面的一个法向量为，那么 ，，令，解得，那么 ，所以二面角的余弦值为 20.（1）依题意，.设，那么.由得, ,, 解得 , . (2)设, 动点在圆上, . 又, , 即= ===.又由题意可知,且, 那么问题可转化为求函数的值域. 由导数可知函数在其定义域内为减函数, 函数的值域为 从而的取值范围为 21解: （1）依题意，知的定义域为（0，+∞）， 当时，，令=0，解得．（∵），当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减。 所以的极大值为，此即为最大值 (2），，那么有≤，在上恒成立，所以≥， 当时，取得最大值，所以≥ (3)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解， 设，那么．令，． 因为，，所以（舍去），， 当时，，在（0，）上单调递减， 当时，，在（，+∞）单调递增 当时，=0，取最小值．因为有唯一解，所以 那么既所以，因为，所以（x）设函数，因为当时， 是增函数，所以至多有一解． 因为，所以方程（x）的解为，即，解得 22．（1）因为为⊙的切线，所以 因为是的平分线，所以所以，即， 所以所以. （2）因为，所以，所以∽， 所以，在中，又因为，所以， 中， 23. （Ⅰ）由； 联立方程有一个解，可得或 （Ⅱ）当时，直线N: ，设M上点为，，那么，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为 24.(1) ，相乘得证 （2） ，， 相加得证