北京师范大学附属中学2023学年高考数学四模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（ ） A． B． C． D． 2．设i为虚数单位，若复数，则复数z等于( ) A． B． C． D．0 3．已知等差数列中，若，则此数列中一定为0的是（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则 A． B． C． D． 5．已知函数，则下列结论错误的是( ) A．函数的最小正周期为π B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 6．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　　） A．若,,则 B．若，,则 C．若,,则 D．若,,则 7．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( ) A． B． C．（） D．（） 9．在等差数列中，若，则（ ） A．8 B．12 C．14 D．10 10．设，，则（ ） A． B． C． D． 11．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）． A．1 B． C．2 D．3 12．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示： 不喜欢 喜欢 男性青年观众 40 10 女性青年观众 30 80 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则的值为______. 14．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为________． 15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则__________． 16．如图,在梯形中，∥，分别是的中点，若，则的值为___________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点. （1）证明：平面； （2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值. 18．（12分）设，，，. （1）若的最小值为4，求的值； （2）若，证明：或. 19．（12分）百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.（其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数，表示被清华、北大等名校录取的学生人数） 年份（届） 2014 2015 2016 2017 2018 41 49 55 57 63 82 96 108 106 123 （1）通过画散点图发现与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（保留两位有效数字） （2）若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考人名校的人数； （3）若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望. 参考公式：， 参考数据：，，， 20．（12分）设点，动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于、两点，且直线与轴交于点，设，，求证：为定值. 21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，与圆相交于、两点，求的取值范围. 22．（10分）等差数列的前项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列{}的前项和为，求使成立的的最小值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 判断圆心与直线的关系，确定直线，关于直线对称的充要条件是与直线垂直，从而等于到直线的距离，由切线性质求出，得，从而得． 【题目详解】 如图，设圆的圆心为，半径为，点不在直线上，要满足直线，关于直线对称，则必垂直于直线，∴， 设，则，，∴,． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线对称，得出与直线垂直，从而得就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角． 2、B 【答案解析】 根据复数除法的运算法则，即可求解. 【题目详解】 . 故选:B. 【答案点睛】 本题考查复数的代数运算，属于基础题. 3、A 【答案解析】 将已知条件转化为的形式，由此确定数列为的项. 【题目详解】 由于等差数列中，所以，化简得，所以为. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题. 4、C 【答案解析】 分析：根据集合可直接求解. 详解：, , 故选C 点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算. 5、D 【答案解析】 由可判断选项A；当时，可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；可判断选项D. 【题目详解】 由题知，最小正周期，所以A正确；当时， ，所以B正确；当时，，所以C正确；由 的图象向左平移个单位，得 ，所以D错误. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题. 6、C 【答案解析】 在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或． 【题目详解】 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则： 在A中，若，，则与相交或平行，故A错误； 在B中，若，，则或，故B错误； 在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确； 在D中，若，，则与平行或，故D错误． 故选C． 【答案点睛】 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 7、A 【答案解析】 求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【题目详解】 抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2， 又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用． 8、B 【答案解析】 如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：连接，根据垂直平分线知， 故，故轨迹为双曲线， ，，，故，故轨迹方程为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键. 9、C 【答案解析】 将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示. 【题目详解】 设等差数列的首项为，公差为， 则由，，得解得，， 所以．故选C． 【答案点睛】 本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式. 10、D 【答案解析】 集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【题目详解】 ， ， 则 故选 【答案点睛】 本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 11、C 【答案解析】 试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则， ，渐近线方程为，求出交点，， ，则；选C 考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程； 12、B 【答案解析】 根据三角函数定义得到，故，再利用和差公式得到答案. 【题目详解】 ∵角的终边过点，∴，. ∴. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、32 【答案解析】 由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量. 【题目详解】 由题可知，抽取的比例为，被调查的总人数为人， 则分层抽样的样本容量是人. 故答案为：32 【答案点睛】 本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题. 14、 【答案解析】 由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有人，根据抽样比可求得结果. 【题目详解】 设高一、高二、高三人数分别为，则且， 解得：， 用分层抽样的方法抽取人，那么高二年级被抽取的人数为人． 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查分层抽样问题的求解，涉及到等差数列的相关知识，属于基础题. 15、 【答案解析】 该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出． 【题目详解】 四棱锥为阳马，侧棱底面， 且，，设该阳马的外接球半径为， 该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径， ， ， 侧棱底面，且底面为正方形， 内切球在侧面内的正视图是的内切圆， 内切球半径为， 故． 故答案为． 【答案点睛】 本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上. 16、 【答案解析】 建系，设设，由可得，进一步得到的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案. 【题目详解】 以A为坐标原点，AD为x轴建立如图所示的直角坐标系，设，则 ， 所以，，由， 得，即，又，所以 ，故,, 所以. 故答案为：2 【答案点睛】 本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）证明见解析（2） 【答案解析】 （1）取中点，连接，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点到直线的距离即为点