北京市第五中学2023学年高考压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A．若，，则或 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 2．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ） A． B． C． D． 4．在中，，，，若，则实数( ) A． B． C． D． 5．如图所示程序框图，若判断框内为“”，则输出（ ） A．2 B．10 C．34 D．98 6．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．1 7．已知、，，则下列是等式成立的必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 8．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（ ） A．2 B．2 C．4 D．6 9．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( ) A． B． C． D． 10．已知集合，定义集合，则等于（ ） A． B． C． D． 11．函数在的图像大致为 A． B． C． D． 12．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的值是，则输入的值为____________． 14．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的取值范围是_____． 15．已知等差数列的各项均为正数，，且，若，则________. 16．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下： 等级 不合格 合格 得分 频数 6 24 （1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数； （2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率； （3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望． 18．（12分）已知函数 （1）当时，证明，在恒成立； （2）若在处取得极大值，求的取值范围. 19．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为、，焦距为2，直线与椭圆交于两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时，四边形的面积为6. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率分别为. ①若，求证：直线过定点； ②若直线过椭圆的右焦点，试判断是否为定值，并说明理由. 20．（12分）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积. 21．（12分）已知椭圆过点，设椭圆的上顶点为，右顶点和右焦点分别为，，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交椭圆于，两点，设直线与直线的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 22．（10分）已知函数. （1）当时. ①求函数在处的切线方程； ②定义其中，求； （2）当时，设，(为自然对数的底数)，若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断，所成的二面角为；D中有可能，即得解. 【题目详解】 选项A：若，，根据线面平行和面面平行的性质，有或，故A正确； 选项B：若，，，由线面平行的判定定理，有，故B正确； 选项C：若，，，故，所成的二面角为，则，故C正确； 选项D，若，，有可能，故D不正确. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题. 2、D 【答案解析】 求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案. 【题目详解】 由题意，直线的斜率为， 可得直线的方程为， 把直线的方程代入双曲线，可得， 设，则， 由的中点为，可得，解答， 又由，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 3、D 【答案解析】 倾斜角为的直线与直线垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果. 【题目详解】 解：因为直线与直线垂直，所以，. 又为直线倾斜角，解得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题. 4、D 【答案解析】 将、用、表示，再代入中计算即可. 【题目详解】 由，知为的重心， 所以，又， 所以， ，所以，. 故选：D 【答案点睛】 本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题. 5、C 【答案解析】 由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解. 【题目详解】 由题意运行程序可得： ，，，； ，，，； ，，，； 不成立，此时输出. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题. 6、B 【答案解析】 将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【题目详解】 根据实际问题可以转化为等比数列问题， 在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值． 因为，解得，，解得．故选B． 【答案点睛】 本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 7、D 【答案解析】 构造函数，，利用导数分析出这两个函数在区间上均为减函数，由得出，分、、三种情况讨论，利用放缩法结合函数的单调性推导出或，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【题目详解】 构造函数，， 则，， 所以，函数、在区间上均为减函数， 当时，则，；当时，，. 由得. ①若，则，即，不合乎题意； ②若，则，则， 此时，， 由于函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则，； ③若，则，则， 此时， 由于函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，则，. 综上所述，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题. 8、C 【答案解析】 根据列方程，由此求得的值，进而求得. 【题目详解】 由于，所以，即 ， 解得. 所以 所以 . 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题. 9、A 【答案解析】 设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积． 【题目详解】 如图，设三棱柱为，且，高． 所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点， 则圆的半径为． 设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且， 所以， 即球的半径为， 所以球的体积为． 故选A． 【答案点睛】 本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个： （1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法． （2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率． 10、C 【答案解析】 根据定义，求出，即可求出结论. 【题目详解】 因为集合，所以， 则，所以. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题. 11、B 【答案解析】 由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果． 【题目详解】 设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B． 【答案点睛】 本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 12、B 【答案解析】 利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【题目详解】 .选B. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、或 【答案解析】 依题意，当时，由，即，解得；当时，由，解得或(舍去)．综上，得或． 14、 【答案解析】 计算出角的取值范围，结合正弦定理可求得的取值范围. 【题目详解】 ，则，所以，， 由正弦定理，. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查了正弦定理，正弦函数图象和性质，考查了转化思想，属于基础题． 15、 【答案解析】 设等差数列的公差为，根据，且，可得，解得，进而得出结论. 【题目详解】 设公差为， 因为， 所以， 所以， 所以 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式，属于基础题. 16、 【答案解析】 由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给