上海交大附中2023学年高考全国统考预测密卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则向量在向量上的投影是（ ） A． B． C． D． 3．已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则（　　） A． B．2 C． D． 4．若复数满足，复数的共轭复数是，则（ ） A．1 B．0 C． D． 5．若直线不平行于平面，且，则（ ） A．内所有直线与异面 B．内只存在有限条直线与共面 C．内存在唯一的直线与平行 D．内存在无数条直线与相交 6．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（ ） A． B． C． D． 7．给出个数 ，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( ) A．； B．； C．； D．； 8．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 9．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（ ） A．48 B．63 C．99 D．120 10．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 98 95 60 73 88 74 86 77 79 94 97 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82 95 90 93 90 85 80 77 99 68 如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出，的值，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 11．在中，角所对的边分别为，已知，则（ ） A．或 B． C． D．或 12．已知复数，则（ ） A． B． C． D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若函数，则的值为______. 14．若x，y满足，则的最小值为________. 15．已知正实数满足，则的最小值为 ． 16．在平面直角坐标系中，已知，若圆上有且仅有四个不同的点C，使得△ABC的面积为5，则实数a的取值范围是____. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N． 18．（12分）已知双曲线及直线. （1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； （2）若l与C交于A，B两点，O是原点，且，求实数k的值. 19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为． （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设点，直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求的值． 20．（12分）在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD. （1）证明：BD⊥EG； （2）若三棱锥，求菱形ABCD的边长. 21．（12分）某单位准备购买三台设备，型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示. 每台设备一个月中使用的易耗品的件数 6 7 8 型号A 30 30 0 频数 型号B 20 30 10 型号C 0 45 15 将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立. （1）求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率； （2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？ 22．（10分）已知抛物线:，点为抛物线的焦点，焦点到直线的距离为，焦点到抛物线的准线的距离为，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）若轴上存在点，过点的直线与抛物线相交于、两点，且为定值，求点的坐标. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可. 【题目详解】 当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为. 在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示： 利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 2、A 【答案解析】 先利用向量坐标运算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解 【题目详解】 由于向量， 故 向量在向量上的投影是. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 3、C 【答案解析】 把代入，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【题目详解】 ∵， ∴， ∵为纯虚数， ∴，解得． 故选C． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题． 4、C 【答案解析】 根据复数代数形式的运算法则求出，再根据共轭复数的概念求解即可． 【题目详解】 解：∵， ∴， 则， ∴， 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题． 5、D 【答案解析】 通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD的正误. 【题目详解】 根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC错误，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大. 6、C 【答案解析】 利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式. 【题目详解】 由，得，可得（）. 相减得，则（），又 由，，得，所以，所以为常 数列，所以，故. 故选：C 【答案点睛】 本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识. 7、A 【答案解析】 要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②. 【题目详解】 因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故本题选A. 【答案点睛】 本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键. 8、B 【答案解析】 取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【题目详解】 取的中点，连接、， 由和都是正三角形，得，，则，则，由勾股定理的逆定理，得. 设球心为，和的中心分别为、. 由球的性质可知：平面，平面， 又，由勾股定理得. 所以外接球半径为. 所以外接球的表面积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 9、C 【答案解析】 观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n. 【题目详解】 解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1 所以 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题. 10、D 【答案解析】 根据程序框图判断出的意义，由此求得的值，进而求得的值. 【题目详解】 由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数，的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故，，所以. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 11、D 【答案解析】 根据正弦定理得到，化简得到答案. 【题目详解】 由，得， ∴，∴或，∴或． 故选： 【答案点睛】 本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 12、C 【答案解析】 根据复数模的性质即可求解. 【题目详解】 , , 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了复数模的性质，属于容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据题意，由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案． 【题目详解】 根据题意，函数， 则， 则； 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力． 14、5 【答案解析】 先作出可行域，再做直线，平移，找到使直线在y轴上截距最小的点，代入即得。 【题目详解】 作出不等式组表示的平面区域，如图，令，则，作出直线，平移直线，由图可得，当直线经过C点时，直线在y轴上的截距最小，由，可得，因此的最小值为. 故答案为：4 【答案点睛】 本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。 15、4 【答案解析】 由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【题目详解】 . 当且仅当时等号成立. 据此可知：的最小值为4. 【答案点睛】 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 16、（，） 【答案解析】 求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为5，转化为圆心到直线的距离进行求解即可． 【题目详解】 解：AB的斜率k，|AB| 5， 设△ABC的高为h， 则∵△ABC的面积为5， ∴S|AB|hh＝5， 即h＝2， 直线AB的方程为y﹣ax，即4x﹣3y+3a＝0 若圆x2+y2＝9上有且仅有四个不同的点C， 则圆心O到直线4x﹣3y+3a＝0的距离d， 则应该满足d＜R﹣h＝3﹣2＝1， 即1， 得|3a|＜5 得a， 故答案为：（，）