2023年高三数学总复习专题突破训练立体几何052.docx

2023届高三数学总复习专题突破训练：立体几何 一、选择题 1、（2023揭阳）某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两局部组成，主体局部全封闭，附属局部是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 那么按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）（　　）D A. 　　 B. C. 　 D. 2、（2023广东五校）在以下关于直线、与平面、的命题中，真命题是（ ）B （A）假设，且，那么 （B）假设，且，那么 （C）假设，且，那么 （D）假设，且，那么 3、（2023番禺）一个几何体的三视图如右图，其中主视图和左视图都是边长为1的正三角形，那么这个几何体的侧面积为（　　）A A． B． C． D． 4、（2023吴川）α、β是两个不同平面，m、n是两条不同直线，那么以下命题不正确的选项是( )D A．那么 B．m∥n，m⊥α，那么n⊥α C．n∥α，n⊥β，那么α⊥β D．m∥β，m⊥n，那么n⊥β 5、（2023北江中学）如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，主视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（　　）B A． B． C． D．不确定 6、（2023北江中学）是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出以下命题： ①假设； ②假设； ③如果相交； ④假设 其中正确的命题是 （ ） D A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 7、（2023珠海）某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ C ） A． B． C． D． 8、（2023潮州）设、、是空间不同的直线或平面，对以下四种情形： ① 、、均为直线；② 、是直线，是平面；③ 是直线，、是平面；④ 、、均为平面。 其中使“⊥且⊥∥〞为真命题的是 （　　）C A ③ ④ B ① ③ C ② ③ D ① ② 9、（2023澄海）设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出以下四个命题： ①假设m⊥，n∥，那么m⊥n； ②假设∥，∥，m⊥，那么m⊥； ③假设m∥，n∥，那么m∥n； ④假设⊥，⊥，那么∥． 其中正确命题的序号是（　　）A A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 10、（2023韶关田家炳）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下命题中，其中正确的命题是（ ） A. B. C. D. 二、解答题 1、（2023广雅期中）四棱锥的三视图如以下列图所示，是侧棱上的动点. (1) 求四棱锥的体积； (2) 是否不管点在何位置，都有？证明你的结论； (3) 假设点为的中点，求二面角的大小. A B C D P E A B C D E F 2、（2023广雅期中）如图，平面，平面，△为等边三角形， ，为的中点. (1) 求证：平面； (2) 求证：平面平面； (3) 求直线和平面所成角的正弦值. 3、（09广东四校理期末）如下列图,在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′—EC—B是直二面角. （1）证明：BE⊥C D′； （2）求二面角D′—BC—E的正切值. 4（09广东四校文期末）如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=. （Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1； （Ⅱ）求三棱锥A1－CDE的体积. P B C D A E F 5、（09北江中学文期末）如图，在底面是矩形的四棱锥中，面，、为别为、 的中点，且， ， （Ⅰ）求四棱锥的体积； （Ⅱ）求证：直线∥平面 6、（2023广东东莞）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设. A B C A1 B1 C1 （1）求的值； （2）求平面与平面所成的锐二面角的大小. 图6 7、（2023广州海珠）如图6，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将沿CD折起，使得平面ABCD,如图7. （Ⅰ）求证：AP//平面EFG； (Ⅱ) 求二面角的大小; （Ⅲ）求三棱椎的体积. 图7 8、（2023广州（一））如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点．假设，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ） 求点到平面的距离； （Ⅲ）求直线平面所成角的正弦值． 9、（2023广东揭阳）如图，是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点． （1）试判断不管点在上的任何位置，是否都有平面 垂直于平面？并证明你的结论； （2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； （3）求与平面所成角的正切值的最大值． 10、（2023广东潮州期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。 (1)求证：；（2）求与平面所成的角；（3）求截面的面积。 11、（2023珠海期末）平面，，与交于点，，， （1）取中点，求证:平面。 （2）求二面角的余弦值。 12、（2023中山期末）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦； （III）求点E到平面ACD的距离． 答案： 1、解：(1) 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形， 侧棱底面，且. …………2分 ∴， 即四棱锥的体积为. …………4分 A B C D P E F (2) 不管点在何位置，都有. …………5分 证明如下：连结，∵是正方形，∴. …………6分 ∵底面，且平面，∴. …………7分 又∵，∴平面. …………8分 ∵不管点在何位置，都有平面. ∴不管点在何位置，都有. …………9分 (3) 解法1：在平面内过点作于，连结. ∵，，， ∴Rt△≌Rt△， 从而△≌△，∴. ∴为二面角的平面角. …………12分 在Rt△中，， 又，在△中，由余弦定理得 A B C D P E x y z ， …………13分 ∴，即二面角的大小为. …………14分 解法2：如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角 坐标系. 那么，从而 ，，，. …………10分 设平面和平面的法向量分别为 ，， 由，取. …………11分 由，取. …………12分 设二面角的平面角为，那么， …………13分 ∴，即二面角的大小为. …………14分 2、A B C D E F M H G 方法一： (1) 证法一：取的中点，连. ∵为的中点，∴且. …………1分 ∵平面，平面， ∴，∴. …………2分 又，∴. …………3分 ∴四边形为平行四边形，那么. …………4分 ∵平面，平面， ∴平面. …………5分 证法二：取的中点，连. ∵为的中点，∴. …………1分 ∵平面，平面，∴. …………2分 又， ∴四边形为平行四边形，那么. …………3分 ∵平面，平面， ∴平面，平面. 又，∴平面平面. …………4分 ∵平面， ∴平面. …………5分 (2) 证：∵为等边三角形，为的中点，∴. …………6分 ∵平面，平面，∴. …………7分 又，故平面. …………8分 ∵，∴平面. …………9分 ∵平面， ∴平面平面. …………10分(3) 解：在平面内，过作于，连. ∵平面平面， ∴平面. ∴为和平面所成的角. …………12分 设，那么， ， R t△中，. ∴直线和平面所成角的正弦值为. …………14分 方法二： 设，建立如下列图的坐标系，那么 .…………2分 ∵为的中点，∴. …………3分  (1) 证：， …………4分 ∵，平面，∴平面. …………5分  (2) 证：∵，………6分 ∴，∴. …………8分 ∴平面，又平面， ∴平面平面. …………10分  (3) 解：设平面的法向量为，由可得： ，取. …………12分 又，设和平面所成的角为，那么 . ∴直线和平面所成角的正弦值为. …………14分 3、解：（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中点， ∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形， 易知, ∠BEC=90°，即BE⊥EC. 又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC, ∴BE⊥面D′EC，又C D′Ì 面D′EC , ∴BE⊥CD′； （2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC 垂足为F，连接D′M，D′F，那么D′M⊥EC. ∵平面D′EC⊥平面BEC, ∴D′M⊥平面EBC, ∴MF是D′F在平面BEC上的射影，由三垂线定理得： D′F⊥BC ∴∠D′FM是二面D′—BC—E的平面角. 在Rt△D′MF中，D′M=EC=，MF=AB= ∴ 即二面角D′—BC—E的正切值为. 法二：如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系. 那么B（，0，0），C（0，，0），D′（0，，） 设平面BEC的法向量为；平面D′BC的法向量为 Þ tan= ∴二面角D′—BC—E的正切值为. 4、解：(1)在Rt△DBE中，BE=1，DE=，∴BD===