北京市第一七一中学2023学年高考数学二模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若集合，，则 A． B． C． D． 4．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是( ) A． B． C． D． 5．在展开式中的常数项为　　 A．1 B．2 C．3 D．7 6．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．设为虚数单位，为复数，若为实数，则（ ） A． B． C． D． 9．己知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 10．已知函数（，且）在区间上的值域为，则（ ） A． B． C．或 D．或4 11．已知实数，满足，则的最大值等于( ) A．2 B． C．4 D．8 12．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__． 14．已知函数，则________；满足的的取值范围为________. 15．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y的值为________． 16．函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知动圆E与圆外切，并与直线相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得，求直线l的斜率k的取值范围. 18．（12分）已知函数 （1）若，不等式的解集； （2）若，求实数的取值范围. 19．（12分）设函数. （1）若，时，在上单调递减，求的取值范围； （2）若，，，求证：当时，． 20．（12分）如图所示，在三棱柱中，为等边三角形，，，平面，是线段上靠近的三等分点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 21．（12分）已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点. （I）求与的关系式； （II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率. 22．（10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点． （1）证明：AP∥平面EBD； （2）证明：BE⊥PC． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 【题目详解】 椭圆的离心率：，（ c为半焦距; a为长半轴）， 设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r，n，如图： 则 所以,, 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题. 2、C 【答案解析】 化简复数为、的形式，可以确定对应的点位于的象限． 【题目详解】 解：复数 故复数对应的坐标为位于第三象限 故选：． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题． 3、C 【答案解析】 解一元次二次不等式得或，利用集合的交集运算求得. 【题目详解】 因为或，，所以，故选C. 【答案点睛】 本题考查集合的交运算，属于容易题. 4、B 【答案解析】 执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【题目详解】 由题意，执行给定的程序框图，输入，可得： 第1次循环：； 第2次循环：； 第3次循环：； 第10次循环：， 此时满足判定条件，输出结果， 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 5、D 【答案解析】 求出展开项中的常数项及含的项，问题得解。 【题目详解】 展开项中的常数项及含的项分别为： ,， 所以展开式中的常数项为：. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。 6、C 【答案解析】 展开式的通项为 ，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为1． 所以.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数. 7、D 【答案解析】 取中点，过作面，可得为等腰直角三角形，由，可得，当时， 最小，由 ，故，即可求解. 【题目详解】 取中点，过作面，如图： 则，故， 而对固定的点，当时， 最小． 此时由面，可知为等腰直角三角形，， 故. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 8、B 【答案解析】 可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解 【题目详解】 设，则. 由题意有，所以. 故选：B 【答案点睛】 本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题 9、A 【答案解析】 根据平面平面，四边形为等腰梯形，则球心在过的中点的面的垂线上，又是等边三角形，所以球心也在过的外心面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可. 【题目详解】 依题意如图所示： 取的中点，则是等腰梯形外接圆的圆心， 取是的外心，作平面平面， 则是四棱锥的外接球球心，且， 设四棱锥的外接球半径为，则，而， 所以， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题. 10、C 【答案解析】 对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解. 【题目详解】 分析知，.讨论：当时，，所以，，所以；当时，，所以，，所以.综上，或，故选C. 【答案点睛】 本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养. 11、D 【答案解析】 画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值. 【题目详解】 画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以， 所以原点到可行域上的点的最大距离为. 所以的最大值为. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 12、C 【答案解析】 先利用等比数列的性质得到的值，再根据的方程组可得的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项. 【题目详解】 因为为等比数列，所以，故即， 由可得或，因为为递增数列，故符合. 此时，所以或（舍，因为为递增数列）. 故，. 故选C. 【答案点睛】 一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质： （1）若，则； （2）公比时，则有，其中为常数且； （3） 为等比数列（ ）且公比为. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，由此即可得到本题答案. 【题目详解】 满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一共有种情况；②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一共有种情况，又从中任意摸取3个小球，有种情况，所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力. 14、 【答案解析】 首先由分段函数的解析式代入求值即可得到，分和两种情况讨论可得； 【题目详解】 解：因为， 所以， ∵， ∴当时，满足题意，∴； 当时，由， 解得.综合可知：满足的的取值范围为. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题. 15、 【答案解析】 根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值. 【题目详解】 根据茎叶图中的数据，得： 甲班5名同学成绩的平均数为， 解得； 又乙班5名同学的中位数为73，则； . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题. 16、1. 【答案解析】 求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可． 【题目详解】 函数的图象在处的切线与直线垂直, 函数的图象在的切线斜率 本题正确结果： 【答案点睛】 本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）根据抛物线的定义，结合已知条件，即可容易求得结果； （2）设出直线的方程，联立抛物线方程，根据直线与抛物线相交则，结合由得到的斜率关系，即可求得斜率的范围. 【题目详解】 （1）因为动圆与圆外切，并与直线相切， 所以点到点的距离比点到直线的距离大. 因为圆的半径为， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以圆