2023学年中考数学必考考点专题33最值问题含解析.docx

专题33 最值问题 专题知识回顾 在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种： 1.二次函数的最值公式 二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有 ①若当时，y有最小值。； ②若当时，y有最大值。。 2.一次函数的增减性 一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。 3. 判别式法 根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。 4.构造函数法 “最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质 在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为k。 6. 零点区间讨论法 用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解 在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。 8. “夹逼法”求最值 在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。 专题典型题考法及解析 【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为　 　． 【答案】﹣4． 【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答． 二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4）， 所以最小值为﹣4． 【例题2】（2023年江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是　 　． 【答案】． 【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点， ∴MN=BC， ∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大， 连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′， ∵BC′是⊙O的直径， ∴∠BAC′=90°． ∵∠ACB=45°，AB=5， ∴∠AC′B=45°， ∴BC′===5， ∴MN最大=． 【例题3】（2023年湖南张家界）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC＝3． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形； （3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值； （4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ＋12QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由． 【思路分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．再由S△PBC＝S△PBE＋S△CPE，转化为12PE•OB＝12×3×(－m2＋3m)，最后将二次函数化为顶点式即可锁定S△PBC的最大值与点P坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ＋12QC＝，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ＋12QC＝⊙Q的直径最小）、二求（由 AQ＝12QC，解关于t的方程即可）． 【解题过程】（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点， ∴令抛物线解析为y＝a(x－1)(x－3)． ∵该抛物线过点C(0，3)， ∴3＝a×(0－1)×(0－3)，解得a＝1． ∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3． ∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴抛物线的顶点D的坐标为(2，－1)． 综上，所求抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3，顶点坐标为(2，－1)． （2）如答图1，连接AD、BD，易知DA＝DB． ∵OB＝OC，∠BOC＝90°， ∴∠MBA＝45°． ∵D(2，－1)，A(3，0)， ∴∠DBA＝45°． ∴∠DBM＝90°． 同理，∠DAM＝90°． 又∵AM⊥BC， ∴四边形ADBM为矩形． 又∵DA＝DB， ∴四边形ADBM为正方形． 图1 （3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m． 图2 图3 ∵S△PBC＝S△PBE＋S△CPE＝12PE•BF＋12PE•OF＝12PE•OB＝12×3×(－m2＋3m) ＝－32 (m－32)2＋278， ∴当m＝32时，S△PBC有最大值为278，此时P点的坐标为(32，－34)． （4） 如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ＋12QC＝， 取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ＋12QC＝⊙Q的直径最小， 此时，t2+1=12(3-t)，解得t＝263－1， 于是AQ＋12QC的最小值为3－t＝3－(263－1)＝4－263． 专题典型训练题 1.（2023年河南）要使代数式2-3x有意义，则x的（ ） A.最大值为23 B.最小值为23 C.最大值为32 D.最大值为32 【答案】A. 【解析】要使代数式2-3x有意义，必须使2-3x≥0，即x≤23，所以x的最大值为23。 2.（2023年四川绵阳）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。 【答案】5 【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h 因为，所以 又因为，代入 得，所以 又因为，代入 得，所以 所以3<h<6，故整数h的最大值为5。 3.（2023年齐齐哈尔）设a、b为实数，那么的最小值为_______。 【答案】-1 【解析】 当，，即时， 上式等号成立。故所求的最小值为－1。 4.（2023年云南）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为　 　． 【答案】2． 【解析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值， 连接OB，OA′，AA′， ∵AA′关于直线MN对称， ∴=， ∵∠AMN=40°， ∴∠A′ON=80°，∠BON=40°， ∴∠A′OB=120°， 过O作OQ⊥A′B于Q， 在Rt△A′OQ中，OA′=2， ∴A′B=2A′Q=2， 即PA+PB的最小值2． 5.（2023年海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 时间(天) 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15 售价(元/斤) 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用(元) 40＋3x 3x2－64x＋400 （3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第 15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？ 【答案】看解析。 【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1－x)，第二次降价后的价格为10(1－x)2，进而可得方程；（2）分两种情况考虑，先利用“利润＝(售价－进价)×销量－储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；（3）设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“（2）中最大利润－[(8.1－a－4.1)×销量－储存和损耗费用]≤127.5”求解． 解答：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得： 10(1－x)2＝8.1． 解方程得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去) 答：该种水果每次降价的百分率为10%． （2） 第一次降价后的销售价格为：10×(1－10%)＝9(元/斤)， 当1≤x＜9时，y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352； 当9≤x＜15时，y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80， 综上，y与x的函数关系式为：y＝ 当1≤x＜9时，y＝－17.7x＋352，∴当x＝1时，y最大＝334.3(元)； 当9≤x＜15时，y＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，∴当x＝10时，y最大＝380(元)； ∵334.3＜380，∴在第10天时销售利润最大． （3）设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意得： 380－[(8.1－a－4.1)(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5， 解得：a≤0.5， 则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元． 6.（2023年湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为，。 （1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】看解析。 【解析】（1）根据题意得： 整理得 解得，（不合题意，舍去） （2）由题意知，利润为 所以当时，最大利润为1950元。 7.（2023年吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？ 【答案】看解析。 【解析】设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为人， 由题意得： 所以 设所招聘的工人共需付月工资y元， 则有： （） 因为y随x的增大而减小 所以当时，（元） 8.（经典题）求的最大值与最小值。 【答案】最大值是3，最小值是。 【解析】此题要求出最大值与最小值，直接求则较困难，若根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。 设，整理得 即 因为x是实数，所以 即 解得 所以的最大值是3，最小值是。 9.（经典题）求代数式的最大值和最小值。 【答案】最大值为