2023中考数学高频考点分类突破19锐角三角形和解直角三角形训练含解析.docx

锐角三角函数和解直角三角形 一．选择题 1．（2023学年•济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（　　）（参考数据：tan37°≈34，tan53°≈43） A．225m B．275m C．300m D．315m 【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym． 在Rt△ECB中，tan53°=ECEB，即43=xy， 在Rt△AEC中，tan37°=ECAE，即34=x105+y， 解得x＝180，y＝135， ∴AC=EC2+AE2=1802+2402=300（m）， 故选：C． 2．（2023学年•营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC=12AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（　　） A．14 B．24 C．22 D．13 【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°， ∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADB+∠EAD＝90°， ∴∠BAC＝∠ADB， ∴△ABC∽△DAB， ∴ABDA=BCAB， ∵BC=12AD， ∴AD＝2BC， ∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2， ∴AB=2BC， 在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB=BC2BC=22； 故选：C． 3．（2023学年•日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（　　） A．11米 B．（36﹣153）米 C．153米 D．（36﹣103）米 【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E， 在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°， ∴BE＝30×tan30°＝103（米）， ∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣103）（米）． ∴甲楼高为（36﹣103）米． 故选：D． 4．（2023学年•长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　） A．3sinα米 B．3cosα米 C．3sinα米 D．3cosα米 【解答】解：由题意可得：sinα=BCAB=BC3， 故BC＝3sinα（m）． 故选：A． 5．（2023学年•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=57，则BC的长是（　　） A．10 B．8 C．43 D．26 【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC=57， 设CD＝5x，BD＝7x， ∴BC＝26x， ∵AB的垂直平分线EF交AC于点D， ∴AD＝BD＝7x， ∴AC＝12x， ∵AC＝12， ∴x＝1， ∴BC＝26； 故选：D． 6．（2023学年•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（　　） A．43 B．34 C．35 D．45 【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°， ∴AC=AD2+CD2=32+42=5． ∴sin∠BAC=CDAC=45． 故选：D． 7．（2023学年•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（　　） A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米 【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F， 设DF＝x， ∵tan65°=OFDF， ∴OF＝xtan65°， ∴BF＝3+x， ∵tan35°=OFBF， ∴OF＝（3+x）tan35°， ∴2.1x＝0.7（3+x）， ∴x＝1.5， ∴OF＝1.5×2.1＝3.15， ∴OE＝3.15+1.5＝4.65， 故选：C． 8．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=25，则此斜坡的水平距离AC为（　　） A．75m B．50m C．30m D．12m 【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC=25，BC＝30m， ∴tan∠BAC=25=BCAC=30AC， 解得，AC＝75， 故选：A． 9．（2023学年•益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（　　） A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ C．atanα+atanβ D．atanα+atanβ 【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα=BCAB，tanβ=BDAB， ∴BC＝atanα，BD＝atanβ， ∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ； 故选：C． 10．（2023学年•河北）如图，从点C观测点D的仰角是（　　） A． ∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC 【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE， ∴从点C观测点D的仰角是∠DCE， 故选：B. 11．（2023学年•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（　　） A．25 B．45 C．53 D．10 【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M． ∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝90°， ∵tanA=BEAE=2，设AE＝a，BE＝2a， 则有：100＝a2+4a2， ∴a2＝20， ∴a＝25或﹣25（舍弃）， ∴BE＝2a＝45， ∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB， ∴CM＝BE＝45（等腰三角形两腰上的高相等）） ∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA， ∴sin∠DBH=DHBD=AEAB=55， ∴DH=55BD， ∴CD+55BD＝CD+DH， ∴CD+DH≥CM， ∴CD+55BD≥45， ∴CD+55BD的最小值为45． 方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得55BD＝DM，从而得到CD+55BD＝CM＝45． 故选：B． 12．（2023学年•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（　　） A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m 【解答】解：过D作DE⊥AB， ∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为30°， ∴∠ADE＝30°， ∵BC＝DE＝183m， ∴AE＝DE•tan30°＝18m， ∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+1.5＝19.5m， 故选：C． 二．填空题 13．（2023学年•阜新）如图，一艘船以40nmile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为　 　nmile．（结果保留根号） 【解答】解：根据题意，得：∠PAB＝60°，∠PBA＝30，AB＝2.5×40＝100（nmile）， ∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣60°﹣30°＝90°． 在Rt△PAB中，PB＝AB•sin∠PAB＝100×32=503（nmile）． 故答案为：503． 14．（2023学年•葫芦岛）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为　 　米．（3≈1.73，结果精确到0.1米） 【解答】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D， ∵∠PBC＝75°，∠PAB＝30°， ∴∠DPB＝45°， ∵AB＝80， ∴BD＝40，AD＝403， ∴PD＝DB＝40， ∴AP＝AD+PD＝403+40， ∵a∥b， ∴∠EPA＝∠PAB＝30°， ∴AE=12AP＝203+20≈54.6， 故答案为：54.6 15.（2023学年•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝　 　． 【解答】解：①如图1中， 在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线，设AB＝EC＝2a，则AE＝EB＝a，AC=3a， ∴tan∠ABC=ACAB=32． ②如图2中， 在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，设EB＝AC＝2a，则AE＝EC＝a，AB=3a， ∴tan∠ABC=ACAB=233．， 故答案为：32或233． 16．（2023学年•雅安）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝　 　． 【解答】解：在Rt△ABC中，sinA=BCAB=45， 故答案为：45． 17．（2023学年•辽阳）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车　 　（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：3≈1.732） 【解答】解：作AD⊥直线l于D， 在Rt△ADB中，∠ABD＝45°， ∴BD＝AD＝100， 在Rt△ADB中，tan∠ACD=ADCD， 则CD=ADtan∠ACD=1003≈173.2， ∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米）， 小汽车的速度为：0.0732÷53600=52.704（千米/小时）， ∵52.704千米/小时＜速60千米/小时， ∴小汽车没有超速， 故答案为：没有超速． 18．（2023学年•大连）如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为　 　m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）． 【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC=BCCD， 则BC＝CD•tan∠BDC＝10， 在Rt△ACD中，tan∠ADC=ACCD， 则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3， ∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m）， 故答案为：3． 19．（2023学年•徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为　 　m． （参考