北京市丰台区2023学年高考冲刺数学模拟试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．设分别是双线的左、右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于两点（位于轴右侧），且四边形为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则的真子集个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知等差数列中，，，则数列的前10项和（ ） A．100 B．210 C．380 D．400 6．设等差数列的前项和为，若，则（ ） A．23 B．25 C．28 D．29 7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A． B． C．2 D． 8．设函数（，）是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（ ） A． B． C． D． 9．等比数列的各项均为正数，且，则( ) A．12 B．10 C．8 D． 10．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（ ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数图像关于对称 D．函数图像关于对称 12．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设是公差不为0的等差数列的前n项和，且，则______. 14．如图，在中，已知，为边的中点．若，垂足为，则的值为__． 15．经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是________________． 16．利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，利用等体积法进行推导，在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是______ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知集合，. （1）若，则； （2）若，求实数的取值范围. 18．（12分）设为实数,已知函数,． （1）当时,求函数的单调区间： （2）设为实数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围; （3）若函数（,）有两个相异的零点,求的取值范围． 19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），曲线的参数方程是为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线和曲线的极坐标方程； （2）已知射线与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长． 20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，为棱的中点，为棱上任意一点，且不与点、点重合．． （1）求证：平面平面； （2）是否存在点使得平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）证明函数存在唯一的极大值点，且. 22．（10分）已知为椭圆的左、右焦点，离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 集合．为自然数集，由此能求出结果． 【题目详解】 解：集合．为自然数集， 在A中，，正确； 在B中，，正确； 在C中，，正确； 在D中，不是的子集，故D错误． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2、B 【答案解析】 由于四边形为菱形，且，所以为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率. 【题目详解】 如图，因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，，两渐近线的斜率分别为和. 故选：B 【答案点睛】 此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题. 3、B 【答案解析】 命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故 4、C 【答案解析】 求出的元素，再确定其真子集个数． 【题目详解】 由，解得或，∴中有两个元素，因此它的真子集有3个． 故选：C. 【答案点睛】 本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集． 5、B 【答案解析】 设公差为，由已知可得，进而求出的通项公式，即可求解. 【题目详解】 设公差为，，， , . 故选：B. 【答案点睛】 本题考查等差数列的基本量计算以及前项和，属于基础题. 6、D 【答案解析】 由可求，再求公差，再求解即可. 【题目详解】 解：是等差数列 ，又， 公差为， ， 故选：D 【答案点睛】 考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 7、A 【答案解析】 由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形， 且两直角边分别为和，所以底面面积为 高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A． 8、D 【答案解析】 根据函数为上的奇函数可得，由函数的对称轴及单调性即可确定的值，进而确定函数的解析式，即可求得的值. 【题目详解】 函数（，）是上的奇函数， 则，所以. 又的图象关于直线对称可得，，即，， 由函数的单调区间知，， 即， 综上，则， . 故选：D 【答案点睛】 本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题. 9、B 【答案解析】 由等比数列的性质求得，再由对数运算法则可得结论． 【题目详解】 ∵数列是等比数列，∴，， ∴． 故选：B. 【答案点睛】 本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键． 10、A 【答案解析】 根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解. 【题目详解】 因为双曲线（）， 所以，又因为渐近线方程为， 所以， 所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11、C 【答案解析】 依题意可得，即函数图像关于对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【题目详解】 解：由， ，所以函数图像关于对称， 又，在上不单调. 故正确的只有C， 故选：C 【答案点睛】 本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 12、A 【答案解析】 详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形 故俯视图为 故选A. 点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、18 【答案解析】 将已知已知转化为的形式，化简后求得，利用等差数列前公式化简，由此求得表达式的值. 【题目详解】 因为，所以. 故填：. 【答案点睛】 本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的性质以及求和，考查运算求解能力，属于基础题. 14、 【答案解析】 ， 由余弦定理，得， 得，，， 所以，所以． 点睛：本题考查平面向量的综合应用．本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到，所以本题转化为求长度，利用余弦定理和面积公式求解即可． 15、 【答案解析】 作出图形，设点，则、，设点，利用点差法得出，利用斜率公式得出，进而可得出，可得出，由此可求得的值. 【题目详解】 设点，则、，设点， 则，两式相减得，即， 即， 由斜率公式得，，，故， 因此，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 16、 【答案解析】 计算正四面体的高，并计算该正四面体的体积，利用等体积法，可得结果. 【题目详解】 作平面，为的重心 如图 则， 所以 设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为 则 故答案为： 【答案点睛】 本题考查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2） 【答案解析】 （1）将代入可得集合B，解对数不等式可得集合A，由并集运算即可得解. （2）由可知B为A的子集，即；当符合题意，当B不为空集时，由不等式关系即可求得的取值范围. 【题目详解】 （1）若，则， 依题意， 故； （2）因为，故； 若，即时，，符合题意； 若，即时，， 解得； 综上所述，实数的取值范围为. 【答案点睛】 本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题. 18、（1）函数单调减区间为;单调增区间为．（2）（3） 【答案解析】 （1）据导数和函数单调性的关系即可求出; （2）分离参数,可得对任意的及任意的恒成立,构造函数,利用导数求出函数的最值即可求出的范围; （3）先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围 【题目详解】 解：（1）当时,因为,当时,; 当时,．所以函数单调减区间为;单调增区间为． （2）由,得,由于, 所以对任意的及任意的恒成立, 由于,所以,所以对任意的恒成立, 设,, 则,所以函数在上单调递减,在上单调递增, 所以, 所以． （3）由,得,其中． ①若时,则,所以函数在上单调递增,所以函数至多有一个零点,不合题意; ②若时,令,得． 由第（2）小题,知：当时,,所以,所以,所以当时,函数的值域为． 所以,存在,使得,即, ① 且当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减．因为函数有两个零点,, 所以．② 设,,则,所以函数在单调递增,由于,所以当时,．所以,②式中的, 又由①式,得． 由第（1）小题可知,当时,函数在上单调递减,所以, 即． 当时, （ⅰ）由于,所以得,又因为,且函数在上单调递减,函数的图象在上不间断,所以函数在上恰有一个零点; （ⅱ）由于,令, 设,, 由于时,,,所以