2023学年中考数学一轮复习一元二次方程及根的判别式考点讲义及练习含解析.docx

一元二次方程及根的判别式 基础知识过关 1．一元二次方程的一般形式是＿＿＿＿＿． 2．一元二次方程根的判别式为：＿＿＿＿＿，当Δ>0时,方程有＿＿＿＿＿；当Δ=0时,方程有两个相等实数根；当＿＿＿＿＿时,方程没有实数根． 3．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),b2–4ac≥0时,设方程的两根分别为x1,x2, 则x1+x2=＿＿＿＿＿；x1·x2=＿＿＿＿＿． 4．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根是＿＿＿＿＿． 【中考真题】 【2023年恩施州】某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（　　） A．8% B．9% C．10% D．11% 透析考纲 在中考中一元二次方程属于必考考点，通过学习一元二次方程要进一步体会在实际问题中建立方程模型,一元二次方程的概念、基本解法及应用都是重要的基础知识,解方程的基本思想是化归思想,将“二次”方程转化成两个“一次”方程求解,蕴含了重要的数学思想和数学方法． 精选好题 【考向01】一元二次方程的相关概念 【试题】【2023年兰州】若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（　　） A．–2 B．–3 C．–1 D．–6 解题关键 本考点主要考查一元二次方程的基本概念．一元二次方程的一般形式是： ax2 + bx + c= 0 ( a≠0 )；一元二次方程的解是指使一元二次方程两边相等的未知数的值． 【好题变式练】 1．已知关于x的方程a（x–3）|a–1|+x–1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　） A．–1 B．2 C．–1或3 D．3 2．【2023年遂宁】已知关于x的一元二次方程（a–1）x2–2x+a2–1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　） A．0 B．±1 C．1 D．–1 要点归纳 判断一个方程是一元二次方程需满足四个条件： （1）是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2； （4）同时要注意二次项系数不能为0． 【考向02】一元二次方程的解法 【试题】【2023年南通】用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x+4）2＝–9 B．（x+4）2＝–7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7 解题技巧 一元二次方程的解法属于重点考查的内容，“降次”是解决一元二次方程的基本思想，配方法是推导出求根公式的工具，熟练掌握并能灵活选择合适的方法去解方程是解决此类问题的关键． 【好题变式练】 1．【2023年山西】一元二次方程x2–4x–1＝0配方后可化为（　　） A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x–2）2＝3 D．（ x–2）2＝5 2．【2023年怀化】一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（　　） A．x1＝1，x2＝–1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝–1 D．x1＝–1，x2＝2 要点归纳 一元二次方程的常用解法： (1)直接开平方法；(2)配方法；(3)因式分解发；(4)公式法：x1,2=-b±b2-4ac2a． 【考向03】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【试题】【2023年营口】若关于x的方程kx2–x-34=0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＝0 B．k≥-13且k≠0 C．k≥-13 D．k＞-13 解题技巧 根的判别式及根与系数的关系的考查题型以选择题、填空题为主．关键在于准确掌握根的判别式与一元二次方程解的情况之间的关系，能够根据根与系数的关系，不解方程解决相关问题． 【好题变式练】 1．【2023年朝阳】一元二次方程x2–x–1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．【2023年天门】若方程x2–2x–4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（　　） A．12 B．10 C．4 D．–4 要点归纳 1．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，根的判别式：Δ=b2-4ac （1）Δ>0时，有两个不相等的实数根；（2）Δ=0时，有两个相等实数根；（3）Δ<0时，没有实数根． 2．根与系数的关系（Δ≥0时） x1+x2=–ba，x1·x2=ca． 【考向04】一元二次方程的应用 【试题】【2023年鸡西】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 解题技巧 中考中，一元二次方程应用属于高频考点，以解答题的形式考查为主，有时会与其他知识综合考查，关键是根据问题的数量关系列出方程并求解，同时注意根据问题的实际意义检验结果的合理性． 【好题变式练】 1．【2023年哈尔滨】某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（　　） A．20% B．40% C．18% D．36% 2．【2023年徐州】如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2？ 要点归纳 一元二次方程解应用题的六个步骤 （1）审——审清题意,找出等量关系； （2）设——直接设未知数或间接设未知数； （3）列——根据等量关系列出一元二次方程； （4）解——解方程,得出未知数的值； （5）验——既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合实际情况； （6）答——完整地写出答案,注意单位． 过关斩将 1．下列关于x的方程（m–2）x2–2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是（　　） A．m≠0 B．m＝0 C．m≠2 D．m≠–2 2．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x+k2–2k–3＝0的常数项等于0，则k的值等于（　　） A．–1 B．3 C．–1或3 D．–3 3．【2023年滨州】用配方法解一元二次方程x2–4x+1＝0时，下列变形正确的是（　　） A．（x–2）2＝1 B．（x–2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x–2）2＝3 4．【2023年河北】小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，系数只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝–1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝–1 D．有两个相等的实数根 5．【2023年威海】一元二次方程3x2＝4–2x的解是＿＿＿＿＿． 6．【2023年扬州】一元二次方程x（x–2）＝x–2的根是＿＿＿＿＿． 7．【2023年青海】某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为＿＿＿＿＿． 8．【2023年东营】为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？ 参考答案 过关斩将 1．C【解析】由题意得：m–2≠0，解得：m≠2．故选C． 2．B【解析】由题意，得k2–2k–3＝0且k+1≠0，所以（k–3）（k+1）＝0且k+1≠0， 所以k–3＝0．解得k＝3．故选B． 3．D【解析】x2–4x+1＝0，移项得x2–4x＝–1，配方，得x2–4x+4＝–1+4，即（x–2）2＝3，故选D． 4．A【解析】由题意，将x＝–1，a＝1，b＝4，代入ax2+bx+c＝0（a≠0），得（–1）2–4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，则判别式为Δ=b2–4ac＝16–4×1×5＝–4＜0，则原方程不存在实数根．故选A． 5．x1=-1+133，x2=-1-133．【解析】移项得3x2+2x–4＝0，则Δ=b2–4ac＝4–4×3×（–4）＝52＞0， 故x=-2±526，即x1=-1+133，x2=-1-133．故答案为：x1=-1+133，x2=-1-133． 6．x1＝2，x2＝1．【解析】x（x–2）＝x–2，移项得x（x–2）–（x–2）＝0，分解因式，得（x–2）（x–1）＝0，所以x–2＝0或x–1＝0，解得x1＝2，x2＝1，故答案为：x1＝2，x2＝1． 7．10%【解析】设平均每次降价的百分比是x，根据题意得：60（1–x）2＝48.6， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），故答案为：10%． 8．180元【解析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200–x）]个， 依题意，得：（x–100）[300+5（200–x）]＝32000， 整理，得：x2–360x+32400＝0，即（x–180）2＝0， 解得：x1＝x2＝180．180＜200，符合题意． 答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．