2023年第一章三角形的证明测试题及答案2.docx

第一章 三角形的证明测试卷（源于中考的试题） 参考答案与试题解析 　一．选择题（共9小题） 1．（2023•郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，那么∠ADB′等于（　　） 　 A． 25° B． 30° C． 35° D． 40° 解答： 解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°， ∴∠B=90°﹣25°=65°， ∵△CDB′由△CDB反折而成， ∴∠CB′D=∠B=65°， ∵∠CB′D是△AB′D的外角， ∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°． 应选D． 2．（2023•潍坊）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，那么C处与灯塔A的距离是（　　）海里． 　 A． 25 B． 25 C． 50 D． 25 解答： 解：根据题意， ∠1=∠2=30°， ∵∠ACD=60°， ∴∠ACB=30°+60°=90°， ∴∠CBA=75°﹣30°=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵BC=50×0.5=25， ∴AC=BC=25（海里）． 应选D． 3．（2023•贵阳）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，那么AP长不可能是（　　） 　 A． B． C． D． 7 解答： 解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3； ∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°， ∴AB=6， ∴AP的长不能大于6． 应选D． 4．（2023•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，假设BM+CN=9，那么线段MN的长为（　　） 　 A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．1518028 分析： 由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论． 解答： 解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN， ∴BM=ME，EN=CN， ∴MN=ME+EN， 即MN=BM+CN． ∵BM+CN=9 ∴MN=9， 应选D． 5．（2023•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，那么△EDF的面积为（　　） 　 A． 11 B． C． 7 D． 考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．1518028 专题： 计算题；压轴题． 分析： 作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求． 解答： 解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC， ∵DE=DG，DM=DE， ∴DM=DG， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DN， 在Rt△DEF和Rt△DMN中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL）， ∵△ADG和△AED的面积分别为50和39， ∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11， S△DNM=S△DEF=S△MDG= 应选B． 点评： 此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求． 　 6．（2023•广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，那么点C到AB的距离是（　　） 　 A． B． C． D． 解答： 解：根据题意画出相应的图形，如下列图： 在Rt△ABC中，AC=9，BC=12， 根据勾股定理得：AB==15， 过C作CD⊥AB，交AB于点D， 又S△ABC=AC•BC=AB•CD， ∴CD===， 那么点C到AB的距离是． 应选A 7．（2023•芜湖）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，EH=EB=3，AE=4，那么CH的长是（　　） 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解答： 解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AEH=∠ADB=90°； ∵∠EAH+∠AHE=90°，∠DHC+∠BCH=90°， ∵∠EHA=∠DHC（对顶角相等）， ∴∠EAH=∠DCH（等量代换）； ∵在△BCE和△HAE中 ， ∴△AEH≌△CEB（AAS）； ∴AE=CE； ∵EH=EB=3，AE=4， ∴CH=CE﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1． 应选A． 8．（2023•泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，假设BC=3，那么折痕CE的长为（　　） 　 A． B． C． D． 6 解答： 解：∵△CEO是△CEB翻折而成， ∴BC=OC，BE=OE，∠B=∠COE=90°， ∴EO⊥AC， ∵O是矩形ABCD的中心， ∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6， ∴AE=CE， 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=3， 在Rt△AOE中，设OE=x，那么AE=3﹣x， AE2=AO2+OE2，即（3﹣x）2=32+x2，解得x=， ∴AE=EC=3﹣=2． 应选A． 9．（2023•深圳）如图，：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，假设OA1=1，那么△A6B6A7的边长为（　　） 　 A． 6 B． 12 C． 32 D． 64 解答： 解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°， ∴∠2=120°， ∵∠MON=30°， ∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°， 又∵∠3=60°， ∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，w W . ∵∠MON=∠1=30°， ∴OA1=A1B1=1， ∴A2B1=1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11=∠10=60°，∠13=60°， ∵∠4=∠12=60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°， ∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3， ∴A3B3=4B1A2=4， A4B4=8B1A2=8， A5B5=16B1A2=16， 以此类推：A6B6=32B1A2=32． 应选：C． 二．填空题（共8小题） 10．（2023•怀化）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，那么AD=　4　． 考点： 勾股定理；等腰三角形的性质．1518028 分析： 首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC=CB，AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD的长． 解答： 解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴DB=DC=CB=3，AD⊥BC， 在Rt△ABD中， ∵AD2+BD2=AB2， ∴AD==4， 故答案为：4． 点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的性质证出△ADB是直角三角形． 　 11．（2023•衡阳）如下列图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，那么△ABE的周长为　7　． 考点： 翻折变换（折叠问题）；勾股定理．1518028 专题： 压轴题；探究型． 分析： 先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出△ABE的周长． 解答： 解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5， ∴BC===4， ∵△ADE是△CDE翻折而成， ∴AE=CE， ∴AE+BE=BC=4， ∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7． 故答案为：7． 点评： 此题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 　 12．（2023•滨州）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，假设AE=2，EM+CM的最小值为　　． 考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理．1518028 专题： 压轴题；动点型． 分析： 要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解． 解答： 解：连接BE，与AD交于点M．那么BE就是EM+CM的最小值． 取CE中点F，连接DF． ∵等边△ABC的边长为6，AE=2， ∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4， ∴CF=EF=AE=2， 又∵AD是BC边上的中线， ∴DF是△BCE的中位线， ∴BE=2DF，BE∥DF， 又∵E为AF的中点， ∴M为AD的中点， ∴ME是△ADF的中位线， ∴DF=2ME， ∴BE=2DF=4ME， ∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME， ∴BE=BM． 在直角△BDM中，BD=BC=3，DM=AD=， ∴BM==， ∴BE=． ∵EM+CM=BE ∴EM+CM的最小值为． 点评： 考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用． 　 13．（2023•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，假设∠F=30°，DE=1，那么BE的长是　2　． 考点： 含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．1518028 专题： 压轴题． 分析： 根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，那么在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半〞即可求得线段BE的长度． 解答： 解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB， ∴∠ACB=∠FDB=90°， ∵∠F=30°， ∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）． 又AB的垂直平分线DE交AC于E， ∴∠EBA=∠A=30°， ∴直角△DBE中，BE=2DE=2． 故答案是：2． 点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°． 　 14．（2023•黔西南州）如图，△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，那么∠E=　15　度． 考点： 等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．1518028 专题： 压轴题． 分析： 根据等边三角形三个角相等，可知∠