北京市十三中2023学年高考仿真卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ） A． B． C． D． 3．若复数满足（是虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 4．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率 A． B． C． D． 6．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C．或 D． 7．设全集为R，集合，，则 A． B． C． D． 8．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 9．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图： 根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A． B． C． D． 10．已知复数满足，则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 11．公比为2的等比数列中存在两项，，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ） A．16 B．12 C．8 D．6 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有____人． 14．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________． 15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则__________． 16．记为数列的前项和，若，则__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，，求数列的前项和. 18．（12分）如图所示，在四面体中，，平面平面，，且. （1）证明：平面； （2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值. 19．（12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面. （1）求证: 是的中点； （2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 20．（12分）已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若正数、满足，求证：. 21．（12分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M（异于点D），交PC于N（异于点C）. （1）证明：平面，并判断四面体MCDA是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 22．（10分）已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）的角的对边分别为且，，求边上的高的最大值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【题目详解】 双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x， ∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍， ∴kl， ∴直线l的方程为y（x﹣c）， 与y＝±x联立，可得y或y， ∵， ∴2•， ∴ab， ∴c＝2b， ∴e． 故选B． 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 2、D 【答案解析】 利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可. 【题目详解】 在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为， 矩形中位于曲线上方区域的面积为， 矩形的面积为， 由几何概型的概率公式得，所以，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 3、B 【答案解析】 利用复数乘法运算化简，由此求得. 【题目详解】 依题意，所以. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题. 4、C 【答案解析】 根据等比数列的前项和公式，判断出正确选项. 【题目详解】 由于数列是等比数列，所以，由于，所以 ，故“”是“”的充分必要条件. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前项和公式，属于基础题. 5、B 【答案解析】 设，则，， 因为，所以．若，则，所以， 所以，不符合题意，所以，则， 所以，所以，，设，则， 在中，易得，所以，解得（负值舍去）， 所以椭圆的离心率．故选B． 6、D 【答案解析】 先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论. 【题目详解】 ， 若在上不单调，令， 则函数对称轴方程为 在区间上有零点（可以用二分法求得）. 当时，显然不成立； 当时，只需 或，解得或. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题. 7、B 【答案解析】 分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：， 结合交集的定义可得：. 本题选择B选项. 点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8、D 【答案解析】 以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值． 【题目详解】 以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系， 可得，设， 由， 可得，即， 则 ， 当时，的最小值为． 故选D． 【答案点睛】 本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 9、C 【答案解析】 由题可得，解得， 则，， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C． 10、B 【答案解析】 根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可. 【题目详解】 由，得，所以． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题. 11、D 【答案解析】 根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解. 【题目详解】 ， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 最小值为. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题. 12、B 【答案解析】 根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果. 【题目详解】 由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2 所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形， 所以该正三棱柱的侧面积为 故选：B 【答案点睛】 本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、750 【答案解析】因为，得， 所以。 14、 【答案解析】 由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同． 【题目详解】 ∵，∴，解得或， 时，满足题意， 时，，方向相反，不合题意，舍去． ∴． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错． 15、 【答案解析】 该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出． 【题目详解】 四棱锥为阳马，侧棱底面， 且，，设该阳马的外接球半径为， 该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径， ， ， 侧棱底面，且底面为正方形， 内切球在侧面内的正视图是的内切圆， 内切球半径为， 故． 故答案为． 【答案点睛】 本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上. 16、-254 【答案解析】 利用代入即可得到，即是等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可. 【题目详解】 由已知，得，即，所以 又，即，，所以是以-4为首项，2为公比的等比数 列，所以，即，所以。 故答案为： 【答案点睛】 本题考查已知与的关系求，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【答案解析】 （Ⅰ）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式； （Ⅱ）求得，然后利用裂项相消法可求得. 【题目详解】 （Ⅰ）设数列的公比为，由题意及，知. 、、成等差数列成等差数列，，， 即，解得或（舍去），. 数列的通项公式为； （Ⅱ）， . 【答案点睛】 本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题. 18、（1）见证明；（2） 【答案解析】 （1）根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，利用勾股定理得到，利用线面垂直的判定定理证得平面； （2）设，利用椎体的体积公式求得 ，利用导数研究函数的单调性，从而求得时，四面体的体积取得最大值，之后利用空间向量求得二面角的余弦值. 【题目详解】 （1）证明：因为，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 因为