北京市第一六一中学2023学年高考数学倒计时模拟卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，，，，则在方向上的投影是（ ） A．4 B．3 C．-4 D．-3 2．已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ） A．sgn[g（x）]＝sgn x B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）] 3．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A．12p B． C． D．10p 4．已知公差不为0的等差数列的前项的和为，，且成等比数列，则（ ） A．56 B．72 C．88 D．40 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（ ） A． B．9 C．7 D． 7．已知命题，那么为（ ） A． B． C． D． 8．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 9．下列函数中，既是奇函数，又是上的单调函数的是( ) A． B． C． D． 10．设为的两个零点，且的最小值为1，则（ ） A． B． C． D． 11．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（ ） A． B． C． D． 12．观察下列各式：，，，，，，，，根据以上规律，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. （1）求直线和曲线的普通方程； （2）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最小值及此时点的坐标. 14．在的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为-64，则实数的值为__________. 15．将底面直径为4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为__________. 16．的展开式中含的系数为__________．（用数字填写答案） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设数列，的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意，都有，，，（e是自然对数的底数）. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和. 18．（12分）如图所示，在四棱锥中，∥，，点分别为的中点. （1）证明：∥面； （2）若，且，面面，求二面角的余弦值. 19．（12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，每千米的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元（），运输的路程为S（千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为（元）、（元）、（元）. （1）请分别写出、、的表达式； （2）试确定使用哪种运输工具总费用最省. 20．（12分）已知抛物线，焦点为，直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点，如图所示，当直线经过焦点时，点恰好是的中点，且. （1）求抛物线的方程； （2）点是原点，设直线的斜率分别是，当直线的纵截距为1时，有数列满足，设数列的前n项和为，已知存在正整数使得，求m的值. 21．（12分）已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点. （1）证明:点在轴的右侧; （2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率 22．（10分）已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 分析：根据平面向量的数量积可得，再结合图形求出与方向上的投影即可. 详解：如图所示： ， ， ， 又，， 在方向上的投影是：， 故选D. 点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题. 2、A 【答案解析】 根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解. 【题目详解】 根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数， 当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g （ x）]＝1， 当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g （ x）]＝0， 当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g （ x）]＝﹣1， 综合有：sgn[g （ x）]＝sgn（x）； 故选：A． 【答案点睛】 此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论. 3、C 【答案解析】 取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径 【题目详解】 如图，取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，的外接圆直径为，球O的半径R满足，所以球O的表面积S=4πR2=， 故选：C. 【答案点睛】 此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题. 4、B 【答案解析】 ，将代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算即可. 【题目详解】 由已知，，，故，解得或（舍）， 故，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题. 5、D 【答案解析】 分别解出集合然后求并集. 【题目详解】 解：， 故选：D 【答案点睛】 考查集合的并集运算，基础题. 6、B 【答案解析】 试题分析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是．要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，，故的最大值为，故选B． 考点：圆与圆的位置关系及其判定． 【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大值． 7、B 【答案解析】 利用特称命题的否定分析解答得解. 【题目详解】 已知命题，，那么是. 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 8、A 【答案解析】 利用逐一验证的方法进行求解. 【题目详解】 若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A． 【答案点睛】 本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 9、C 【答案解析】 对选项逐个验证即得答案. 【题目详解】 对于，，是偶函数，故选项错误； 对于，，定义域为，在上不是单调函数，故选项错误； 对于，当时，； 当时，； 又时，. 综上，对，都有，是奇函数. 又时，是开口向上的抛物线，对称轴，在上单调递增，是奇函数，在上是单调递增函数，故选项正确； 对于，在上单调递增，在上单调递增，但，在上不是单调函数，故选项错误. 故选：. 【答案点睛】 本题考查函数的基本性质，属于基础题. 10、A 【答案解析】 先化简已知得,再根据题意得出f（x）的最小值正周期T为1×2，再求出ω的值． 【题目详解】 由题得, 设x1，x2为f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的两个零点，且的最小值为1， ∴=1，解得T=2； ∴=2， 解得ω=π． 故选A． 【答案点睛】 本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 11、B 【答案解析】 根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项. 【题目详解】 .设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题. 12、B 【答案解析】 每个式子的值依次构成一个数列，然后归纳出数列的递推关系后再计算． 【题目详解】 以及数列的应用根据题设条件，设数字，，，，，，，构成一个数列，可得数列满足， 则， ，． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、（1），；（2），. 【答案解析】 （1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程； （2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得. 【题目详解】 （1）直线的普通方程为. 在曲线的参数方程中，， 所以曲线的普通方程为. （2）设点. 点到直线的距离. 当时，，所以点到直线的距离的最小值为. 此时点的坐标为. 【答案点睛】 本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题. 14、3或-1 【答案解析】 设，分别令、，两式相减即可得，即可得解. 【题目详解】 设， 令，则①， 令，则②， 则①-②得， 则，解得或. 故答案为：3或-1. 【答案点睛】 本题考查了二项式定理的应用，考查了运算能