北京市十二中2023学年高考全国统考预测密卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，） C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg 2．近年来，随着网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途，随机抽取了名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法： ①可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足的大学生使用主要玩游戏； ③可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的. 其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A． B．3 C． D．4 4．已知复数满足，则=（ ） A． B． C． D． 5．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A． B． C． D． 6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（ ） A． B． C． D． 7．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 8．已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ） A．6 B．3 C． D． 9．已知，则（ ） A． B． C． D． 10．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A． B．复数的共轭复数是 C． D． 11．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ） A．1 B． C． D． 12．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A．若，，则或 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，则_____。 14．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄里克雷函数.则关于有以下结论: ①的值域为; ②; ③; ④ 其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号) 15．如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的体积为__________． 16．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程； （2）设和交点的交点为，求 的面积． 18．（12分）的内角的对边分别为，已知. （1）求的大小； （2）若，求面积的最大值. 19．（12分）某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路， 以所在的直线分别为轴，轴， 建立平面直角坐标系， 如图所示， 山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点，的横坐标为. （1）当为何值时，公路的长度最短?求出最短长度； （2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度. 20．（12分）已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由. 21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，. （1）证明：平面平面ABCD； （2）设H在AC上，，若，求PH与平面PBC所成角的正弦值. 22．（10分）已知函数，其中. （1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）若函数在定义域上有两个极值点，且. ①求实数的取值范围； ②求证：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确； 回归直线过样本点的中心（），B正确； 该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确； 该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误． 故选D． 2、C 【答案解析】 根据利用主要听音乐的人数和使用主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论. 【题目详解】 使用主要听音乐的人数为，使用主要看社区、新闻、资讯的人数为，所以①正确； 使用主要玩游戏的人数为，而调查的总人数为，，故超过的大学生使用主要玩游戏，所以②错误； 使用主要找人聊天的大学生人数为，因为，所以③正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题. 3、B 【答案解析】 由正弦定理及条件可得， 即. ， ∴， 由余弦定理得。 ∴.选B。 4、B 【答案解析】 利用复数的代数运算法则化简即可得到结论. 【题目详解】 由，得， 所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题. 5、A 【答案解析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且， 再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得， 所以，即椭圆的左焦点为，且 ① 直线交轴于，所以，， 因为，所以，所以， 又由点在椭圆上，得 ② 由，可得，解得， 所以， 所以椭圆的离心率为. 故选A. 【答案点睛】 本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 6、B 【答案解析】 模拟程序框图运行分析即得解. 【题目详解】 ； ；. 所以①处应填写“” 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7、B 【答案解析】 试题分析：设在直线上的投影分别是，则，，又是中点，所以，则，在中，所以，即，所以，故选B． 考点：抛物线的性质． 【名师点晴】 在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点的距离，从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系． 8、B 【答案解析】 求得直线的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得位于，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值. 【题目详解】 解：曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线的方程为， 可得，由圆与直线的位置关系知在时，到直线距离最短，即为， 则的面积的最小值为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得． 9、D 【答案解析】 根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案. 【题目详解】 因为，所以，所以是减函数， 又因为，所以，， 所以，，所以A,B两项均错； 又，所以，所以C错； 对于D，，所以， 故选D. 【答案点睛】 这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系. 10、D 【答案解析】 首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【题目详解】 由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想. 11、C 【答案解析】 对任意的总有恒成立，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案. 【题目详解】 对任意的总有恒成立 ，对恒成立， 令， 可得 令，得 当， 当 ，， 故 令，得 当时， 当， 当时， 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题. 12、D 【答案解析】 根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断，所成的二面角为；D中有可能，即得解. 【题目详解】 选项A：若，，根据线面平行和面面平行的性质，有或，故A正确； 选项B：若，，，由线面平行的判定定理，有，故B正确； 选项C：若，，，故，所成的二面角为，则，故C正确； 选项D，若，，有可能，故D不正确. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由已知求，再利用和角正切公式，求得， 【题目详解】 因为所以cos 因此. 【答案点睛】 本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。 14、② 【答案解析】 根据新定义，结合实数的性质即可判断①②③，由定义求得比小的有理数个数，即可确定④. 【题目详解】 对于①，由定义可知，当为有理数时；当为无理数时，则值域为，所以