2023届湖北省武汉市重点中学高考适应性考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 2．函数在的图象大致为 A． B． C． D． 3．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（ ） A． B． C． D． 4．点为不等式组所表示的平面区域上的动点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，则 A． B．或 C． D． 6．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．3 D．4 7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）. A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸 8．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 9．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米 11．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（ ） A． B． C．1 D． 12．定义在上的函数满足，则（） A．-1 B．0 C．1 D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，从一个边长为的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______. 14．函数的图象在处的切线方程为__________． 15．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为__________． 16．已知圆柱的上下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为____ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆的左右焦点分别是，点在椭圆上，满足 （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，与直线交于点（介于两点之间），是否存在直线，使得直线，，的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程，若不能，请说理由. 18．（12分）已知的内角、、的对边分别为、、，满足.有三个条件：①；②；③.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题： （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积. 19．（12分）在中，、、的对应边分别为、、，已知，，. （1）求； （2）设为中点，求的长. 20．（12分） “绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛. （1）设事件为 “选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率； （2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望 21．（12分）已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且. （1）讨论的单调性 （2）求实数和a的值 （3）证明 22．（10分）在直角坐标系中，已知点，若以线段为直径的圆与轴相切. （1）求点的轨迹的方程； （2）若上存在两动点（A，B在轴异侧）满足，且的周长为，求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解. 【题目详解】 如图所示，函数与的图象， 因为时，恒成立， 于是两函数必须有相同的零点， 所以 ， 解得． 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2、A 【答案解析】 因为，所以排除C、D．当从负方向趋近于0时，，可得.故选A． 3、B 【答案解析】 根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【题目详解】 令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 4、B 【答案解析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用的几何意义即可得到结论． 【题目详解】 不等式组作出可行域如图：，，， 的几何意义是动点到的斜率，由图象可知的斜率为1，的斜率为：， 则的取值范围是：，，． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键． 5、C 【答案解析】 由可得，解得或，所以或， 又，所以，故选C． 6、A 【答案解析】 根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得，解可得，由离心率公式计算可得答案． 【题目详解】 根据题意，抛物线的焦点为， 则双曲线的焦点也为，即， 则有，解可得， 双曲线的离心率. 故选：A． 【答案点睛】 本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 7、B 【答案解析】 试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B. 考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积. 8、C 【答案解析】 ，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案. 【题目详解】 由已知，，令，得. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题. 9、C 【答案解析】 根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【题目详解】 由“”，得， 得或或， 即或或， 由，得， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选C． 【答案点睛】 本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题． 10、B 【答案解析】 由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【题目详解】 因为弧长比较短的情况下分成6等分， 所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为63(厘米). 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题. 11、B 【答案解析】 首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值； 【题目详解】 解：因为， 所以 因为 所以 ，即，， 时 故选： 【答案点睛】 本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题. 12、C 【答案解析】 推导出，由此能求出的值． 【题目详解】 ∵定义在上的函数满足， ∴，故选C． 【答案点睛】 本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 由题意得正三棱柱底面边长6，高为，由此能求出所得正三棱柱的体积． 【题目详解】 如图，作，交于，， 由题意得正三棱柱底面边长，高为， 所得正三棱柱的体积为： ． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量． 14、 【答案解析】 利用导数的几何意义,对求导后在计算在处导函数的值,再利用点斜式列出方程化简即可. 【题目详解】 ,则切线的斜率为. 又,所以函数的图象在处的切线方程为,即. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题,需要注意求导法则与计算,属于基础题. 15、 【答案解析】 考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程． 解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，则. 直线IF1与IF2的斜率之积：， 而根据海伦公式，有△PF1F2的面积为 因此有. 再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴， 离心率e满足的椭圆， 其标准方程为. 解法二：令，则．三角形PF1F2的面积： ， 其中r为内切圆的半径，解得. 另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得： 从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为： . 本题中：，代入上式可得轨迹方程为：. 16、 【答案解析】 由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求. 【题目详解】 解：因为轴截面是正方形，且面积是36， 所以圆柱的底面直径和高都是6 故答案为： 【答案点睛】 考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）不能，理由见解析 【答案解析】 （1）设，则，由此即可求出椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可求得，则直线斜率为，设其方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得关于对称，可求得，假设存在直线满足题意，设，可得，由此可得答案． 【题目详解】 解：（1）设，则， ， 所以椭圆方程为； （2）设直线的方程为， 与联立得， ∴， 因为两直线的倾斜角互补，所以直线斜率为， 设直线的方程为， 联立整理得， ， 所以关于对称， 由正弦定理得， 因为,所以， 由上得， 假设存在直线满足题意， 设，按某种排列成等比数列，设公比为，则， 所以，则此时直线与平行或重合，与题意不符， 所以不存在满足题意的直线． 【答案点睛】 本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题． 18、（1）；（2）. 【答案解析】 （