北京北大附中2023学年高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数（表示不超过x的最大整数），若有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．直三棱柱中，，，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ） A． B． C． D． 4．已知条件，条件直线与直线平行，则是的( ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．等比数列的各项均为正数，且，则( ) A．12 B．10 C．8 D． 6．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 7．函数的部分图象大致是（ ） A． B． C． D． 8．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ） A． B． C． D． 9．已知为等比数列，，，则（ ） A．9 B．－9 C． D． 10．复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．已知函数，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量，，，则__________. 14．若，则__________． 15．若函数，则__________；__________. 16．在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知数列为公差不为零的等差数列，是数列的前项和，且、、成等比数列，.设数列的前项和为，且满足. （1）求数列、的通项公式； （2）令，证明：. 18．（12分）如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，，//，. （1）证明：//平面BCE. （2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求. 19．（12分）已知是公比为的无穷等比数列，其前项和为，满足，________．是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 20．（12分）在中，，.已知分别是的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，连接，如图： （1）证明：平面平面 （2）求平面与平面所成二面角的大小. 21．（12分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A＝ (k≠0)的一个特征向量为α＝， A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值． 22．（10分）已知椭圆的离心率为，且过点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设是椭圆上且不在轴上的一个动点，为坐标原点，过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据[x]的定义先作出函数f（x）的图象，利用函数与方程的关系转化为f（x）与g（x）=ax有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可． 【题目详解】 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若有且仅有3个零点， 则等价为有且仅有3个根， 即与有三个不同的交点， 作出函数和的图象如图， 当a=1时，与有无数多个交点， 当直线经过点时，即，时，与有两个交点， 当直线经过点时，即时，与有三个交点， 要使与有三个不同的交点，则直线处在过和之间， 即， 故选：A． 【答案点睛】 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 2、A 【答案解析】 设，延长至，使得，连，可证，得到（或补角）为所求的角，分别求出，解即可. 【题目详解】 设，延长至，使得， 连，在直三棱柱中，， ，四边形为平行四边形， ，（或补角）为直线与所成的角， 在中，， 在中，， 在中， ， 在中，， 在中，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题. 3、D 【答案解析】 根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案. 【题目详解】 为奇函数，即，函数关于中心对称，排除. ，排除. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键. 4、C 【答案解析】 先根据直线与直线平行确定的值，进而即可确定结果. 【题目详解】 因为直线与直线平行， 所以，解得或；即或； 所以由能推出；不能推出； 即是的充分不必要条件. 故选C 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型. 5、B 【答案解析】 由等比数列的性质求得，再由对数运算法则可得结论． 【题目详解】 ∵数列是等比数列，∴，， ∴． 故选：B. 【答案点睛】 本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键． 6、D 【答案解析】 设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可. 【题目详解】 设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知： ，因此双曲线的渐近线方程为： . 故选：D 【答案点睛】 本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力. 7、C 【答案解析】 判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项. 【题目详解】 ，函数是奇函数，排除， 时，，时，，排除， 当时，， 时，，排除， 符合条件，故选C. 【答案点睛】 本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项. 8、D 【答案解析】 先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解. 【题目详解】 甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种， 其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种， 所以甲第一个到、丙第三个到的概率是. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 9、C 【答案解析】 根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出. 【题目详解】 ∵,∴,又,可解得或 设等比数列的公比为,则 当时,, ∴； 当时, ,∴. 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 10、B 【答案解析】 设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限. 【题目详解】 设,则, ,, 所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限. 故选:B 【答案点睛】 本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力. 11、B 【答案解析】 对分类讨论，代入解析式求出，解不等式，即可求解. 【题目详解】 函数，由 得或 解得. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题. 12、C 【答案解析】 由题意可得面，可知，因为，则面，于是.由此推出三棱锥外接球球心是的中点，进而算出，外接球半径为1，得出结果. 【题目详解】 解：由，翻折后得到，又， 则面，可知． 又因为，则面，于是， 因此三棱锥外接球球心是的中点． 计算可知，则外接球半径为1，从而外接球表面积为． 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、3 【答案解析】 由题意得，，再代入中，计算即可得答案. 【题目详解】 由题意可得，， ∴，解得， ∴. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查向量模的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意向量数量积公式的运用. 14、 【答案解析】 因为，由二倍角公式得到 ，故得到 ． 故答案为． 15、0 1 【答案解析】 根据分段函数解析式，代入即可求解. 【题目详解】 函数， 所以， . 故答案为：0；1. 【答案点睛】 本题考查了分段函数求值的简单应用，属于基础题. 16、 【答案解析】 根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角的平面角,再设出的长, 即可求出三棱锥的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥的外接球的表面积. 【题目详解】 如图所示： 过点作面,垂足为,过点作交于点,连接. 则为二面角的平面角的补角,即有. ∵易证面,∴,而三角形为等边三角形, ∴为的中点. 设, . ∴. 故三棱锥的体积为 当且仅当时,,即. ∴三点共线. 设三棱锥的外接球的球心为,半径为. 过点作于,∴四边形为矩形. 则,,, 在中,,解得. 三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）, （2）证明见解析 【答案解析】 （1）利用首项和公差构成方程组，从而求解出的通项公式；由的通项公式求解出的表达式，根据以及，求解出的通项公式； （2）利用错位相减法求解出的前项和，根据不等关系证明即可. 【题目详解】 （1）设首项为，公差为. 由题意，得，解得， ∴， ∴，∴ 当时， ∴，.当时，满足上式. ∴ （2），令数列的前项和为. 两式相减得 ∴恒成立，得证. 【答案点睛】 本题考查等差数列、等比数列的综合应用，难度一般.（1）当用求解的通项公式时，一定要注意验证是否成立；（2）当一个数列符合等差乘以