北京市海淀区北方交大附中2023学年高考仿真卷数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合,则（ ） A． B． C． D． 2．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（ ） A． B． C． D． 3．已知是虚数单位，若，，则实数（ ） A．或 B．-1或1 C．1 D． 4．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 98 95 60 73 88 74 86 77 79 94 97 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82 95 90 93 90 85 80 77 99 68 如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出，的值，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）． A． B． C． D． 6．设，随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（ ） A．减小，减小 B．减小，增大 C．增大，减小 D．增大，增大 7．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 A．240，18 B．200，20 C．240，20 D．200，18 8．的内角的对边分别为，若，则内角（ ） A． B． C． D． 9．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，点是平面内一点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 11．已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 12．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数，令，，若，表示不超过实数的最大整数，记数列的前项和为，则_________ 14．已知函数，若函数有个不同的零点，则的取值范围是___________． 15．已知等边三角形的边长为1．,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________． 16．已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，的最大值为． 求实数b的值； 当时，讨论函数的单调性； 当时，令，是否存在区间，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由． 18．（12分）已知正项数列的前项和. （1）若数列为等比数列，求数列的公比的值； （2）设正项数列的前项和为，若，且. ①求数列的通项公式； ②求证：. 19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），曲线的参数方程是为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线和曲线的极坐标方程； （2）已知射线与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长． 20．（12分）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，且平面． （1）求证：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 21．（12分）某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析，按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元. 年龄 （单位：岁） 保费 （单位：元） （1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值； （2）经调查，年龄在之间的老人每人中有人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元，如果参保，保险公司补贴治疗费元.某老人年龄岁，若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费用为元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？ 22．（10分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 计算，再计算交集得到答案 【题目详解】 ,表示偶数， 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力. 2、C 【答案解析】 分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可. 详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图： ，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C 点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题． 3、B 【答案解析】 由题意得，，然后求解即可 【题目详解】 ∵，∴.又∵，∴，∴. 【答案点睛】 本题考查复数的运算，属于基础题 4、D 【答案解析】 根据程序框图判断出的意义，由此求得的值，进而求得的值. 【题目详解】 由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数，的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故，，所以. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 5、A 【答案解析】 由平面向量基本定理，化简得，所以，即可求解，得到答案． 【题目详解】 由平面向量基本定理，化简 ，所以，即， 故选A． 【答案点睛】 本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题． 6、C 【答案解析】 ，，判断其在内的单调性即可． 【题目详解】 解：根据题意在内递增， ， 是以为对称轴，开口向下的抛物线，所以在上单调递减， 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 7、A 【答案解析】 利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【题目详解】 样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为： 故选A． 【答案点睛】 本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用． 8、C 【答案解析】 由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得． 【题目详解】 ∵，由正弦定理可得， ∴， 三角形中，∴，∴． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键． 9、A 【答案解析】 根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果. 【题目详解】 由三视图的性质和定义知，三棱锥的正视图与侧视图都是底边长为高为的三角形，其面积都是，正视图与侧视图的面积之和为， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 10、D 【答案解析】 根据函数定义域的求解方法可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果. 【题目详解】 ，，， . 故选：. 【答案点睛】 本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 11、C 【答案解析】 在等比数列中，由即可表示之间的关系. 【题目详解】 由题可知，等比数列中，且公比为2，故 故选：C 【答案点睛】 本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题. 12、C 【答案解析】 几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案. 【题目详解】 几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、4 【答案解析】 根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得，，，进而得到，再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解. 【题目详解】 由题意，函数，且，， 可得， ， 又由，可得为常数列，且， 数列表示首项为4，公差为2的等差数列，所以， 其中数列满足， 所以， 所以， 又由， 可得数列的前n项和为， 数列的前n项和为， 所以数列的前项和为，满足， 所以，即， 又由表示不超过实数的最大整数，所以. 故答案为：4. 【答案点睛】 本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 14、 【答案解析】 作出函数的图象及直线，如下图所示，因为函数有个不同的零点，所以由图象可知，，，所以． 15、 【答案解析】 根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出,,,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果. 【题目详解】 解: 以的中点为坐标原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则,,,, 则,,, 设, , , 即点的坐标为, 则,,, 所以 故答案为: 【答案点睛】 本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题. 16、4038. 【答案解析】 由函数图象的对称性得：函数图象与函数图象的交点关于点对称，则，,即，得解． 【题目详解】 由知： 得函数的图象关于点对称 又函数的图象关于点对称 则函数图象与函数图象的交点关于点对称 则 故， 即 本题正确结果： 【答案点睛】 本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1) ;(2) 时，在单调增；时, 在单调递减，在单调递增；时,同理在单调递减，在单调递增；（3）不存在. 【答案解析】 分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当时， 取得极大值，也是最大值， 由，