2023届河北省中原名校高考数学二模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A． B． C． D． 2．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在中，角所对的边分别为，已知，则（ ） A．或 B． C． D．或 4．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（ ） A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不确定 5．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A． B． C． D． 6．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（ ） A．9 B．7 C． D． 8．已知向量，，且，则（ ） A． B． C．1 D．2 9．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A．69人 B．84人 C．108人 D．115人 10．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ） A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点 C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点 11．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知抛物线的焦点为，其准线与坐标轴交于点，过的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率________. 14．函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____. 15．观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________． 16．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成______种不同的音序. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪元，送餐员每单制成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分送餐员每单抽成元，超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其天的送餐单数，得到如下频数分布表： 送餐单数 38 39 40 41 42 甲公司天数 10 10 15 10 5 乙公司天数 10 15 10 10 5 （1）从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天，求这天的送餐单数都不小于单的概率； （2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题： ①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望； ②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由. 18．（12分）为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竟赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得分，投放错误得分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.从所有参赛选手中随机抽取人，将他们的得分按照、、、、分组，绘成频率分布直方图如图： （1）分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数； （2）从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手，以表示这名选手中得分不超过分的人数，求的分布列和数学期望. 19．（12分）如图所示，在四棱锥中，∥，，点分别为的中点. （1）证明：∥面； （2）若，且，面面，求二面角的余弦值. 20．（12分）已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点，点，直线的斜率为1． （1）求椭圆的方程； （1）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，是否存在直线使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知为等差数列，为等比数列，的前n项和为，满足，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）令，数列的前n项和，求. 22．（10分）在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD. （1）证明：BD⊥EG； （2）若三棱锥，求菱形ABCD的边长. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形 故俯视图为 故选A. 点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。 2、C 【答案解析】 设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的关系得，，从而得到，同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案. 【题目详解】 根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0， 设直线AB的方程为，代入得：. 由根与系数的关系得，， 所以. 又直线CD的方程为，同理， 所以， 所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 则由抛物线的定义可得. 所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件. 3、D 【答案解析】 根据正弦定理得到，化简得到答案. 【题目详解】 由，得， ∴，∴或，∴或． 故选： 【答案点睛】 本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 4、A 【答案解析】 利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可 【题目详解】 据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，所以. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题 5、C 【答案解析】 根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解． 【题目详解】 ，， ，． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量服从正态分布，则． 6、D 【答案解析】 利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案． 【题目详解】 将将函数的图象向左平移个单位长度， 可得函数 又由函数为偶函数，所以，解得， 因为，当时，，故选D． 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7、C 【答案解析】 根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到之间的等量关系，再用表示出的面积，利用均值不等式即可容易求得. 【题目详解】 设，，则. 因为平面，平面，所以. 又，，所以平面，则. 易知，. 在中，， 即，化简得. 在中，，. 所以. 因为， 当且仅当，时等号成立，所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题. 8、A 【答案解析】 根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值. 【题目详解】 由于向量，，且，所以解得. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题. 9、D 【答案解析】 先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数. 【题目详解】 在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，则，解得人. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题. 10、A 【答案解析】 根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上. 【题目详解】 ,， , 又，, 平面,又平面 ， 故在以为直径的圆上， 又是内异于的动点， 所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题. 11、B 【答案解析】 根据分段函数，分当，，将问题转化为的零点问题，用数形结合的方法研究. 【题目详解】 当时，，令，在是增函数，时，有一个零点， 当时，，令 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 因为在上有3个零点， 所以当时，有2个零点， 如图所示： 所以实数的取值范围为 综上可得实数的取值范围为， 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题. 12、A 【答案解析】 分子分母同乘,即根据复数的除法法则求解即可. 【题目详解】 解:, 故选:A 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 求出抛物线焦点坐标，由，结合向量的坐标运算得，直线方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，，从而可求得，得斜率． 【题目详解】 由得，即 联立得 解得或，∴． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线相交，考查向量的线性运算的坐标表示．直线方程与抛物线方程联立后消元，应用韦达定理是解决直线与抛物线相交问题的常用方法． 14、 【答案解析】 对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解. 【题目详解】 由题：函数在区间内有且仅有两个零点， ， 等价于函数恰有两个公共点， 作出大致图象： 要有两个交点，即， 所以. 故答案为： 【答案点睛】 此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值