2023年届市高三第一次诊断性检测数学文试题解析版.docx

2023届市高三第一次诊断性检测数学（文）试题（解析版） 2023届市高三第一次诊断性检测数学（文）试题 一、单项选择题 1．假设复数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直接利用复平面的对称得到答案. 【详解】 数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，那么 应选： 【点睛】 此题考查了复平面的对称问题，属于简单题. 2．集合，，假设，那么实数的值为( ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】根据集合并集的定义即可得到答案. 【详解】 集合，，且，所以或. 应选：D 【点睛】 此题主要考查集合并集的根本运算，属于根底题． 3．假设，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据得到，再利用二倍角公式得到答案. 【详解】 ， 应选： 【点睛】 此题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力. 4．命题：，，那么为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】直接利用全称命题的否认定义得到答案. 【详解】 命题：，，那么为： ， 应选： 【点睛】 此题考查了全称命题的否认，意在考查学生的推断能力. 5．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类“的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如以下图的频率分布直方图，那么这100名同学的得分的中位数为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据频率分布直方图求得中位数即可. 【详解】 在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，中位数为：. 应选：A 【点评】 此题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考查了中位数，属于根底题． 6．设等差数列的前项和为，且，那么( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论. 【详解】 由等差数列的前项和为，＝＝，且，∴＝×3＝. 应选：D． 【点睛】 此题考查了等差数列的前n项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于根底题． 7．是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，那么以下说法正确的选项是( ) A．假设，，且，那么 B．假设，，且，那么 C．假设，，且，那么 D．假设，，且，那么 【答案】C 【解析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】 由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n异面，故A错误； 由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误； 由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，那么m⊥n，故C正确； 由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误． 应选：C． 【点睛】 此题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 8．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，那么函数的解析式为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可. 【详解】 函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象， 再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）＝的图象. 应选：A． 【点睛】 此题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于根底题． 9．抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点假设，那么线段的中点到轴的距离为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可. 【详解】 由抛物线方程，得其准线方程为：，设，， 由抛物线的性质得，，中点的横坐标为， 线段的中点到轴的距离为：. 应选：B． 【点睛】 此题考查了抛物线定义的应用，属于根底题． 10．，，，那么( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1． 【详解】 ∵＝，且=＝，∴，．∴． 应选：C． 【点睛】 此题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于根底题． 11．直线与双曲线：相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），那么双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】如以下图：为双曲线右焦点，连接，计算得到，再利用余弦定理得到，化简得到答案. 【详解】 如以下图：为双曲线右焦点，连接，根据对称性知 ，， 在和中，分别利用余弦定理得到： ， 两式相加得到 应选： 【点睛】 此题考查了双曲线的离心率，根据条件计算出是解题的关键. 12．定义在上的函数满足，当时，．假设关于的方程有三个不相等的实数根，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数的单调性和对称性画出函数图像，过定点，计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到答案. 【详解】 当时， 函数在上单调递减，在上单调递增，且 ，函数关于对称，过定点 如以下图，画出函数图像： 当与相切时，设切点为 那么 根据对称性考虑左边图像，根据图像验证知是方程唯一解，此时 故答案为 应选： 【点睛】 此题考查了零点问题，对称问题，函数的单调性，画出函数图像是解题的关键. 二、填空题 13．实数满足约束条件，那么的最大值为_______. 【答案】6 【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【详解】 作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影局部） 由得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z， 由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大． 由，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6. 故答案为：6． 【点睛】 此题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的根本方法，属于根底题． 14．设正项等比数列满足，，那么_______. 【答案】 【解析】将条件转化为根本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到an． 【详解】 在正项等比数列中，，， 得，解得，∴an＝＝3•3n﹣1＝3n. 故答案为：3n 【点睛】 此题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于根底题． 15．平面向量，满足，，且，那么向量与的夹角的大小为______. 【答案】 【解析】根据得到，计算得到答案. 【详解】 设向量与的夹角为， 故答案为： 【点睛】 此题考查了向量的夹角，意在考查学生的计算能力. 16．如图，在边长为2的正方形中，边，的中点分别为，，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点，得到三棱锥．那么三棱锥的外接球体积为____________ 【答案】 【解析】根据两两垂直得到，代入体积公式计算得到答案. 【详解】 易知两两垂直， 将三棱锥放入对应的长方体内得到 故答案为： 【点睛】 此题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键. 三、解答题 17．在中，角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）假设的面积为，且，求的周长. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由条件结合余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数根本关系式可求sinA的值． （2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长． 【详解】 （1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝， ∴在△ABC中，sinA＝＝． （2）∵△ABC的面积为，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6， 又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，那么a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6， ，所以周长为. 【点睛】 此题主要考查了余弦定理，同角三角函数根本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 购置意向的调查，将方案在今年购置5G 的员工称为“追光族〞，方案在明年及明年以后才购置5G 的员工称为“观望者〞调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族〞的女性员工和男性员工各有20人. （Ⅰ）完成以以下联表，并判断是否有的把握认为该公司员工属于“追光族〞与“性别〞有关； 属于“追光族〞 属于“观望者〞 合计 女性员工 男性员工 合计 100 （Ⅱ）被抽取的这l00名员工中有6名是人事部的员工，这6名中有3名属于“追光族〞现从这6名中随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族〞的概率． 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（Ⅰ）表见解析，没有的把握认为该公司员工属于“追光族〞与“性別〞有关.（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）完善列联表，计算得到结论. （Ⅱ）设人事部的这6名中的3名“追光族〞分别为“，，〞，3名“观望者〞分别为“，，，列出所有情况计算得到答案. 【详解】 （Ⅰ）由题，列联表如下： 属于“追光族〞 属于“观望者〞 合计 女性员工 20 40 60 男性员工 20 20 40 合计 40 60 100 ∵， ∴没有的把握认为该公司员工属于“追光族〞与“性別〞有关. （Ⅱ）设人事部的这6名中的3名“追光族〞分别为“，，〞，3名“观望者〞分别为“，，〞.那么从人事部的这6名中随机抽取3名的所有可能情况有“；；；；；；；；；；；；；；；；；；；〞共20种. 其中，抽取到的3名中恰有1名属于“追光族〞的所有可能情况有“；；；；；；；；〞共9种. ∴抽取到的3名中恰有1名属于“追光族〞的概率. 【点睛】 此题考查了列联表，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，且，，分别为，的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）点在棱上，且，证明：平面． 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析 【解析】（Ⅰ）证明和得到平面. （Ⅱ）根据相似得到证明平面. 【详解】 （Ⅰ）如图，连接.∵底面为菱形，且， ∴三角形为正三角形. ∵为的中点，∴.又∵平面，平面， ∴. ∵，平面，∴平面. （Ⅱ）连接交于点，连接. ∵为的中点，∴在底面中，，∴. ∴，∴在三角形中，. 又∵平面，平面， ∴平面. 【点睛】 此题考查了线面垂直和线面平行，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 20．函数，，为函数的导函数. （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）当时，证明对任意的都成立. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）证明见解析 【解析】（Ⅰ）求导得到讨论，，和四种情况得到答案. （Ⅱ）要证明即，求导得到函数 得到证明. 【详解】 （Ⅰ）. ∵，， ∴当时，，函数在内单调递减，在内单调递增； 当时，，函数在内单调递增， 在内单调递减，在内单调递增； 当时，，函数在内单调递增； 当时，，函数在内单调递增，在内单调递减， 在内单调递增. （Ⅱ）当时，，，. ∴. 令，那么. 令，∵函数在内单调递增，，， ∴存在唯一的，使得. ∵当时，；当时，； ∴函数在内单调递减，在内单调递增. 又∵，， ∴，